Номер 406, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 1. Математическая индукция - номер 406, страница 171.

Условие.

406. 1) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

2) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{(n+1)^2 n^2}{4}$

3) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$

4) $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + (-1)^{n-1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем тождество $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):

Проверим, выполняется ли равенство для $n=1$.
Левая часть: $1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно для $n=1$.

Индукционное предположение (шаг индукции):

Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

Индукционный переход:

Докажем, что равенство верно и для $n = k+1$. То есть, нам нужно доказать:
$1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$:
$(1^2 + 2^2 + \ldots + k^2) + (k+1)^2$.

Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$.

Приведем к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)$:
$(k+1) \left( \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2+k}{6} + \frac{6(k+1)}{6} \right)$
$= (k+1) \left( \frac{2k^2+k+6k+6}{6} \right) = (k+1) \left( \frac{2k^2+7k+6}{6} \right)$.

Разложим квадратный трехчлен $2k^2+7k+6$ на множители. Его корни $k_1 = -2$ и $k_2 = -3/2$.
$2k^2+7k+6 = 2(k+2)(k+3/2) = (k+2)(2k+3)$.

Подставим разложение обратно в выражение:
$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.
Таким образом, по принципу математической индукции, тождество доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

2) Докажем тождество $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{(n+1)^2 n^2}{4}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):

Проверим для $n=1$.
Левая часть: $1^3 = 1$.
Правая часть: $\frac{(1+1)^2 \cdot 1^2}{4} = \frac{2^2 \cdot 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно.

Индукционное предположение:

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 = \frac{(k+1)^2 k^2}{4}$.

Индукционный переход:

Докажем, что равенство верно для $n = k+1$:
$1^3 + 2^3 + \ldots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{((k+1)+1)^2 (k+1)^2}{4} = \frac{(k+2)^2 (k+1)^2}{4}$.

Рассмотрим левую часть:
$(1^3 + 2^3 + \ldots + k^3) + (k+1)^3$.

Используем индукционное предположение:
$\frac{(k+1)^2 k^2}{4} + (k+1)^3$.

Вынесем общий множитель $(k+1)^2$:
$(k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + (k+1) \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2+4(k+1)}{4} \right)$
$= (k+1)^2 \left( \frac{k^2+4k+4}{4} \right) = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Тождество доказано.

Ответ: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \frac{(n+1)^2 n^2}{4}$.

3) Докажем тождество $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):

Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
Правая часть: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1(2-1) = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно.

Индукционное предположение:

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$1^3 + 3^3 + \ldots + (2k-1)^3 = k^2(2k^2-1)$.

Индукционный переход:

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$. Следующий член в сумме будет $(2(k+1)-1)^3 = (2k+1)^3$.
Нам нужно доказать: $1^3 + 3^3 + \ldots + (2k-1)^3 + (2k+1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2-1)$.

Рассмотрим левую часть:
$(1^3 + 3^3 + \ldots + (2k-1)^3) + (2k+1)^3$.

Используем индукционное предположение:
$k^2(2k^2-1) + (2k+1)^3$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Теперь раскроем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:
$(k+1)^2(2(k+1)^2-1) = (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1)-1)$
$= (k^2+2k+1)(2k^2+4k+2-1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)$
$= k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1)$
$= (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1)$
$= 2k^4 + (4k^3+4k^3) + (k^2+8k^2+2k^2) + (2k+4k) + 1$
$= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Левая и правая части совпали, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $1^3 + 3^3 + 5^3 + \ldots + (2n-1)^3 = n^2(2n^2-1)$.

4) Докажем тождество $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2 = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}$ методом математической индукции.

База индукции (n=1):

Проверим для $n=1$.
Левая часть: $(-1)^{1-1} \cdot 1^2 = 1 \cdot 1 = 1$.
Правая часть: $(-1)^{1-1} \frac{1(1+1)}{2} = 1 \cdot \frac{2}{2} = 1$.
$1 = 1$. Равенство верно.

Индукционное предположение:

Предположим, что равенство верно для $n=k$:
$1^2 - 2^2 + \ldots + (-1)^{k-1} k^2 = (-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2}$.

Индукционный переход:

Докажем, что равенство верно для $n=k+1$.
Нам нужно доказать: $1^2 - 2^2 + \ldots + (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^{(k+1)-1} (k+1)^2 = (-1)^{(k+1)-1} \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}$.
То есть: $1^2 - 2^2 + \ldots + (-1)^{k-1} k^2 + (-1)^{k} (k+1)^2 = (-1)^{k} \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Рассмотрим левую часть:
$(1^2 - 2^2 + \ldots + (-1)^{k-1} k^2) + (-1)^{k} (k+1)^2$.

Используем индукционное предположение:
$(-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2} + (-1)^{k} (k+1)^2$.

Заметим, что $(-1)^{k-1} = -(-1)^k$. Вынесем за скобки $(-1)^k$ и $(k+1)$:
$-(-1)^k \frac{k(k+1)}{2} + (-1)^k (k+1)^2 = (-1)^k (k+1) \left( -\frac{k}{2} + (k+1) \right)$
$= (-1)^k (k+1) \left( \frac{-k+2(k+1)}{2} \right) = (-1)^k (k+1) \left( \frac{-k+2k+2}{2} \right)$
$= (-1)^k (k+1) \left( \frac{k+2}{2} \right) = (-1)^k \frac{(k+1)(k+2)}{2}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$. Тождество доказано.

Ответ: $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + (-1)^{n-1} n^2 = (-1)^{n-1} \frac{n(n+1)}{2}$.