Номер 409, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями - номер 409, страница 174.

Условие.

409. Сколько разных трёхзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр:

1) 1, 2 и 3;

2) 1, 2, 3 и 4?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти количество трёхзначных чисел, которые можно составить из трёх различных цифр: 1, 2 и 3. Поскольку все цифры в числе должны быть разными, и у нас есть ровно три цифры для трёх позиций в числе, нам нужно найти количество перестановок из трёх элементов.

Рассуждать можно следующим образом:

- На первую позицию (сотни) мы можем выбрать любую из трёх цифр (3 варианта).

- После выбора первой цифры, на вторую позицию (десятки) остаётся две цифры (2 варианта).

- На третью позицию (единицы) остаётся только одна последняя цифра (1 вариант).

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это соответствует формуле числа перестановок из $n$ элементов, которая вычисляется как $n!$ (n-факториал). В нашем случае $n=3$:

$P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Можно перечислить все возможные числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Ответ: 6.

2)

В этом случае нам нужно составить трёхзначные числа с разными цифрами, используя четыре цифры: 1, 2, 3 и 4. Это задача на нахождение числа размещений без повторений из 4 элементов по 3.

Рассуждаем аналогично первому пункту:

- На первую позицию (сотни) мы можем выбрать любую из четырёх цифр (4 варианта).

- Так как цифры не должны повторяться, на вторую позицию (десятки) мы можем выбрать любую из оставшихся трёх цифр (3 варианта).

- На третью позицию (единицы) остаётся две возможные цифры (2 варианта).

Общее число различных трёхзначных чисел равно:

$4 \times 3 \times 2 = 24$

Это можно также вычислить по формуле для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Для нашего случая $n=4$ и $k=3$:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{24}{1} = 24$

Ответ: 24.