Страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

409. Сколько разных трёхзначных чисел, не имеющих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр:

1) 1, 2 и 3;

2) 1, 2, 3 и 4?

1)

Задача состоит в том, чтобы найти количество трёхзначных чисел, которые можно составить из трёх различных цифр: 1, 2 и 3. Поскольку все цифры в числе должны быть разными, и у нас есть ровно три цифры для трёх позиций в числе, нам нужно найти количество перестановок из трёх элементов.

Рассуждать можно следующим образом:

- На первую позицию (сотни) мы можем выбрать любую из трёх цифр (3 варианта).

- После выбора первой цифры, на вторую позицию (десятки) остаётся две цифры (2 варианта).

- На третью позицию (единицы) остаётся только одна последняя цифра (1 вариант).

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это соответствует формуле числа перестановок из $n$ элементов, которая вычисляется как $n!$ (n-факториал). В нашем случае $n=3$:

$P_3 = 3! = 1 \times 2 \times 3 = 6$

Можно перечислить все возможные числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Ответ: 6.

2)

В этом случае нам нужно составить трёхзначные числа с разными цифрами, используя четыре цифры: 1, 2, 3 и 4. Это задача на нахождение числа размещений без повторений из 4 элементов по 3.

Рассуждаем аналогично первому пункту:

- На первую позицию (сотни) мы можем выбрать любую из четырёх цифр (4 варианта).

- Так как цифры не должны повторяться, на вторую позицию (десятки) мы можем выбрать любую из оставшихся трёх цифр (3 варианта).

- На третью позицию (единицы) остаётся две возможные цифры (2 варианта).

Общее число различных трёхзначных чисел равно:

$4 \times 3 \times 2 = 24$

Это можно также вычислить по формуле для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Для нашего случая $n=4$ и $k=3$:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{24}{1} = 24$

Ответ: 24.

410. Сколько разных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр:

1) 6, 7 и 8;

2) 6, 7, 8 и 9?

1) 6, 7 и 8;

Для того чтобы составить различные трёхзначные числа из цифр 6, 7 и 8, нужно учесть, что все цифры в числе должны быть уникальными, так как у нас всего три цифры для трёх позиций в числе. Это классическая задача на перестановки.

Рассмотрим позиции в трёхзначном числе:

• На позицию сотен можно поставить любую из трёх цифр (6, 7 или 8). Таким образом, у нас есть 3 варианта.
• После того как одна цифра заняла позицию сотен, для позиции десятков остаются две цифры. Следовательно, есть 2 варианта.
• Для позиции единиц остаётся только одна, последняя неиспользованная цифра. То есть, 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это количество перестановок из 3 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$:

$P_3 = 3! = 6$

Можно перечислить все возможные числа: 678, 687, 768, 786, 867, 876.

Ответ: 6

2) 6, 7, 8 и 9?

В этом случае нам нужно составить трёхзначные числа из набора четырёх цифр (6, 7, 8, 9), при этом цифры в числе повторяться не должны. Это задача на размещения.

Рассмотрим позиции в трёхзначном числе:

• На позицию сотен можно поставить любую из четырёх данных цифр. У нас есть 4 варианта.
• После выбора цифры для сотен, для позиции десятков остаются три доступные цифры. Таким образом, есть 3 варианта.
• Для позиции единиц остаются две неиспользованные цифры. Следовательно, есть 2 варианта.

Общее количество различных трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$4 \times 3 \times 2 = 24$

Это число размещений из 4 элементов по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$ и $k=3$:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Ответ: 24

411. Сколько разных двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?

Чтобы определить, сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4, рассмотрим процесс формирования такого числа по шагам.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры в разряде десятков и цифры в разряде единиц.

1. Выбор первой цифры (разряд десятков)

На место первой цифры (десятки) мы можем поставить любую из четырех предложенных цифр: 1, 2, 3 или 4. Таким образом, у нас есть 4 варианта для выбора первой цифры.

2. Выбор второй цифры (разряд единиц)

В условии задачи не указано, что цифры в числе должны быть различными. Это значит, что мы можем использовать одну и ту же цифру дважды (например, в числах 11, 22, 33, 44). Следовательно, для выбора второй цифры (единицы) у нас также есть 4 варианта: 1, 2, 3 или 4.

3. Подсчет общего количества чисел

Для нахождения общего количества возможных двузначных чисел применяется правило умножения в комбинаторике: нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции.

Число комбинаций = (количество вариантов для первой цифры) × (количество вариантов для второй цифры).

Таким образом, общее количество чисел равно:

$4 \times 4 = 16$

Для наглядности перечислим все возможные комбинации:

• С цифрой 1 на первом месте: 11, 12, 13, 14.
• С цифрой 2 на первом месте: 21, 22, 23, 24.
• С цифрой 3 на первом месте: 31, 32, 33, 34.
• С цифрой 4 на первом месте: 41, 42, 43, 44.

Как видно из списка, всего можно составить 16 различных двузначных чисел.

Ответ: 16.

412. Путешественник может попасть из пункта $A$ в пункт $C$, проехав через пункт $B$. Между пунктами $A$ и $B$ имеются три автодороги, а между пунктами $B$ и $C$ — железнодорожное и речное сообщения. Сколько существует различных маршрутов между пунктами $A$ и $C$?

Для решения этой задачи используется комбинаторное правило умножения. Весь маршрут из пункта А в пункт С можно рассматривать как последовательность двух независимых этапов: путь из А в В и путь из В в С.

На первом этапе, чтобы добраться из пункта А в пункт В, путешественник может выбрать одну из трех автодорог. Следовательно, для этого этапа существует 3 различных варианта.

На втором этапе, чтобы добраться из пункта В в пункт С, путешественник может воспользоваться либо железнодорожным, либо речным сообщением. Таким образом, для этого этапа существует 2 различных варианта.

Общее количество различных маршрутов из А в С равно произведению числа вариантов на каждом этапе. Это потому, что для каждого из 3-х способов добраться до В есть 2 способа продолжить путь до С.

Выполним вычисление: $3 \times 2 = 6$.

Таким образом, существует 6 различных маршрутов между пунктами А и С.

Ответ: 6

413. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16?

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно определить количество способов распределить две разные медали (золотую и серебряную) между 16 командами. Так как порядок распределения медалей важен (ситуация, когда команда А получает золото, а команда Б — серебро, отличается от ситуации, когда команда Б получает золото, а команда А — серебро), мы имеем дело с размещениями.

Решение можно найти двумя способами.

Способ 1: Использование правила произведения
1. Выбор команды на первое место (золотая медаль): Существует 16 претендентов, следовательно, 16 вариантов.
2. Выбор команды на второе место (серебряная медаль): После того как обладатель золотой медали определен, остается 15 команд-претендентов на серебряную медаль. Следовательно, 15 вариантов.
Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места: $N = 16 \times 15 = 240$.

Способ 2: Использование формулы размещений
Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче:

• $n = 16$ — общее число команд.
• $k = 2$ — число распределяемых медалей (призовых мест).

Подставим значения в формулу: $A_{16}^2 = \frac{16!}{(16-2)!} = \frac{16!}{14!} = \frac{16 \times 15 \times 14!}{14!} = 16 \times 15 = 240$.

Оба способа показывают, что существует 240 различных вариантов распределения золотой и серебряной медалей.
Ответ: 240

414. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день из шести разных учебных предметов?

Эта задача относится к разделу комбинаторики, а именно — к перестановкам. Нам нужно найти количество способов, которыми можно расположить 6 различных предметов в определенном порядке. Порядок уроков в расписании имеет значение, поэтому мы ищем число перестановок из 6 элементов.

Для первого урока у нас есть 6 вариантов выбора предмета.

После того как первый урок выбран, для второго урока остается 5 вариантов выбора из оставшихся предметов.

Для третьего урока остается 4 варианта.

Для четвертого — 3 варианта.

Для пятого — 2 варианта.

И для шестого урока остается только 1 последний предмет.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого урока. Это число равно числу перестановок из 6 элементов, которое вычисляется как факториал числа 6:

$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Вычислим произведение:

$6 \times 5 = 30$

$30 \times 4 = 120$

$120 \times 3 = 360$

$360 \times 2 = 720$

$720 \times 1 = 720$

Следовательно, существует 720 различных способов составить расписание.

Ответ: 720

415. В классе 20 учащихся. Необходимо выбрать из их числа старосту, физорга и культорга. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если один ученик может занимать только одну должность?

Для решения этой задачи нужно найти количество способов выбрать 3 учеников на 3 разные должности из 20. Поскольку должности (староста, физорг, культорг) различны и один ученик может занимать только одну из них, то порядок выбора учеников на эти должности важен. Такие комбинации в математике называются размещениями.

Решение можно найти, используя правило произведения:

1. На должность старосты можно выбрать любого из 20 учеников. Есть 20 кандидатов.

2. После того, как староста выбран, он уже не может быть назначен на другую должность. Следовательно, на должность физорга можно выбрать любого из оставшихся $20 - 1 = 19$ учеников.

3. После выбора старосты и физорга в классе остается $20 - 2 = 18$ учеников. Значит, на должность культорга можно выбрать любого из 18 оставшихся.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждой должности:
$N = 20 \times 19 \times 18$
$N = 380 \times 18$
$N = 6840$

Также для решения можно использовать формулу числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ – общее количество учеников ($n=20$), а $k$ – количество должностей ($k=3$).

$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6840

416. В одной из стран автомобильные номера из четырёх цифр (нуль может стоять и на первом месте) записываются на пластинках пяти различных цветов (каждый из пяти штатов этой страны имеет номера своего цвета). Какое наибольшее число пластин с номерами может быть выдано автовладельцам в этой стране?

Для решения этой задачи необходимо найти общее количество всех возможных уникальных автомобильных номеров. Уникальный номер в данном случае определяется сочетанием двух независимых характеристик: четырехзначного числа и цвета пластины.

Сначала определим количество возможных числовых комбинаций. Номер состоит из четырех цифр. Для каждой из четырех позиций можно использовать любую из 10 цифр (от 0 до 9). Так как по условию ноль может стоять и на первом месте, для каждой позиции доступно 10 вариантов. По комбинаторному правилу произведения, общее число таких комбинаций равно: $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$. Таким образом, возможно составить 10 000 различных четырехзначных номеров.

Далее, согласно условию, существует 5 различных цветов для пластин, так как каждый из пяти штатов страны использует свой уникальный цвет.

Чтобы найти итоговое наибольшее число пластин с номерами, необходимо умножить количество всех возможных числовых комбинаций на количество доступных цветов: $10000 \text{ (числовых комбинаций)} \times 5 \text{ (цветов)} = 50000$.

Следовательно, наибольшее число пластин с номерами, которое может быть выдано автовладельцам в этой стране, составляет 50 000.

Ответ: 50000.

417. Десять участников конференции обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку другим участникам). Сколько всего карточек было роздано?

В конференции принимают участие 10 человек. Согласно условию, каждый участник вручает свою визитную карточку всем остальным участникам.

Рассмотрим одного участника. Он должен вручить свою визитную карточку всем остальным, то есть $10 - 1 = 9$ людям.

Поскольку в конференции 10 участников, и каждый из них раздает по 9 карточек, общее количество розданных карточек можно найти, умножив количество участников на количество карточек, которое раздает один участник.

Общее количество карточек = $10 \text{ участников} \times 9 \text{ карточек/участник} = 90$ карточек.

Таким образом, всего было роздано 90 визитных карточек.

Ответ: 90