Страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

418. Десять участников конференции обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Чтобы решить эту задачу, необходимо найти общее количество уникальных рукопожатий. Каждое рукопожатие происходит между двумя участниками. Поскольку рукопожатие между участником А и участником Б — это то же самое событие, что и рукопожатие между Б и А, порядок в паре не имеет значения. Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 10 участников по 2.

Рассмотрим решение задачи двумя способами.

Способ 1: Логический подсчет

Можно посчитать количество рукопожатий для каждого участника последовательно, избегая повторений:

• Первый участник пожимает руку остальным 9 участникам. Это 9 рукопожатий.
• Второй участник уже пожал руку первому, поэтому ему остается пожать руки остальным 8 участникам. Это 8 новых рукопожатий.
• Третий участник уже обменялся рукопожатиями с первым и вторым, поэтому он пожимает руки оставшимся 7 участникам. Это 7 новых рукопожатий.
• ...
• Девятый участник пожимает руку только последнему, десятому участнику, так как со всеми остальными он уже обменялся рукопожатиями. Это 1 новое рукопожатие.
• Десятый участник к этому моменту уже пожмет руки всем.

Общее число рукопожатий будет равно сумме арифметической прогрессии:$N = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$

Способ 2: Использование формулы из комбинаторики

Задачу можно свести к выбору 2 участников из 10 без учета порядка. Для этого используется формула числа сочетаний:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$где $n$ — общее количество элементов (участников), а $k$ — количество элементов в одной группе (для рукопожатия $k=2$).

В нашем случае $n = 10$ и $k = 2$. Подставляем значения в формулу:$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!}$

Расписываем факториалы и сокращаем:$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Оба способа дают одинаковый результат. Всего было сделано 45 рукопожатий.

Ответ: 45

419. Сколько различных шифров можно набрать в автоматической камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из тридцати букв русского алфавита с последующим трёхзначным числовым кодом?

Для решения этой задачи воспользуемся основным правилом комбинаторики — правилом умножения. Шифр состоит из двух независимых частей: одной буквы и одного трёхзначного числового кода. Общее количество возможных шифров равно произведению количества вариантов для каждой из этих частей.

1. Определим количество вариантов для буквенной части шифра.

По условию задачи, для первой части шифра можно выбрать любую из 30 букв русского алфавита. Таким образом, у нас есть $30$ вариантов для выбора буквы.

2. Определим количество вариантов для числовой части шифра.

Трёхзначный числовой код представляет собой последовательность из трёх цифр. Каждая из трёх позиций в коде может быть заполнена любой цифрой от 0 до 9. Всего у нас есть 10 цифр: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

• Для первой цифры кода есть 10 возможных вариантов.
• Для второй цифры кода также 10 возможных вариантов.
• Для третьей цифры кода также 10 возможных вариантов.

Поскольку выбор каждой цифры не зависит от выбора остальных, общее количество возможных трёхзначных кодов равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N_{число} = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$

Это соответствует всем возможным кодам от 000 до 999.

3. Найдём общее количество различных шифров.

Теперь, используя правило умножения, мы можем найти общее количество уникальных шифров, перемножив количество вариантов для буквенной и числовой частей:

$N_{общ} = (\text{количество вариантов букв}) \times (\text{количество вариантов числового кода})$

$N_{общ} = 30 \times 1000 = 30000$

Таким образом, можно составить 30 000 различных шифров.

Ответ: 30000

420. Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны?

Для решения этой задачи необходимо определить количество семизначных натуральных чисел, у которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны.

Семизначное число имеет 7 позиций для цифр. Пронумеруем их слева направо: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

• Нечётные места: 1-е, 3-е, 5-е, 7-е. Всего 4 нечётных места.
• Чётные места: 2-е, 4-е, 6-е. Всего 3 чётных места.

Условие задачи состоит из двух частей:

1. Число является натуральным и семизначным, следовательно, первая цифра (на 1-м месте) не может быть нулём.
2. Все цифры на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, 7-м) должны быть различны.

Для нахождения общего количества таких чисел воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Расчет проведем поочередно для нечётных и чётных позиций.

1. Выбор цифр для нечётных мест.

Нам нужно расставить 4 различные цифры на 4 нечётных местах, учитывая, что первая цифра не может быть нулём.

• Для первого места (нечётное) существует 9 вариантов выбора цифры (любая от 1 до 9, так как 0 исключён).
• Для третьего места (нечётное) можно выбрать любую из 10 цифр (0-9), кроме той, что уже стоит на первом месте. Таким образом, остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.
• Для пятого места (нечётное) нужно выбрать цифру, отличную от двух предыдущих, уже стоящих на первом и третьем местах. Остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.
• Для седьмого места (нечётное) нужно выбрать цифру, отличную от трёх предыдущих. Остаётся $10 - 3 = 7$ вариантов.

Количество способов заполнить нечётные места равно произведению числа вариантов для каждого места:$N_{нечетные} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.

Альтернативный способ расчета: общее число способов выбрать 4 разные цифры из 10 и расставить их по 4 местам — это число размещений $A_{10}^4$. Из них нужно вычесть те случаи, когда на первом месте стоит 0. Если на первом месте 0, то на оставшиеся 3 нечётных места нужно расставить 3 разные цифры из оставшихся 9. Это $A_9^3$ способов.$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$$N_{нечетные} = A_{10}^4 - A_9^3 = 5040 - 504 = 4536$.

2. Выбор цифр для чётных мест.

Для цифр, стоящих на чётных местах (2-м, 4-м, 6-м), нет никаких ограничений. Они могут быть любыми (от 0 до 9) и могут повторяться.

• Для второго места существует 10 вариантов (0-9).
• Для четвёртого места существует 10 вариантов (0-9).
• Для шестого места существует 10 вариантов (0-9).

Количество способов заполнить чётные места равно:$N_{четные} = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

3. Общее количество чисел.

Чтобы найти общее количество искомых семизначных чисел, нужно перемножить количество способов заполнения нечётных мест и количество способов заполнения чётных мест:$N_{общее} = N_{нечетные} \times N_{четные} = 4536 \times 1000 = 4\;536\;000$.

Ответ: 4 536 000.

421. Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если любую из них можно использовать в записи числа не более одного раза?

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам нужно составить нечётное четырёхзначное число из цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, причём каждая цифра может быть использована только один раз.

Условия, которым должно удовлетворять число:

• Оно четырёхзначное, значит первая цифра не может быть 0.
• Оно нечётное, значит последняя цифра должна быть одной из {1, 3, 5, 7}.
• Все цифры в числе различны.

Будем последовательно выбирать цифры для каждой из четырёх позиций, начиная с тех, на которые наложены самые строгие ограничения.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц). Чтобы число было нечётным, на этой позиции должна стоять нечётная цифра. Из доступного набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} нечётными являются {1, 3, 5, 7}. Таким образом, у нас есть 4 варианта для последней цифры.

2. Выбор первой цифры (разряд тысяч). Эта цифра не может быть нулём (так как число четырёхзначное) и не может совпадать с уже выбранной последней цифрой. Всего у нас 8 цифр. Одну (нечётную) мы уже использовали для последнего разряда. Осталось 7 цифр. Среди этих 7 цифр есть 0, который не может стоять на первом месте. Следовательно, количество вариантов для первой цифры равно $7 - 1 = 6$.

3. Выбор второй цифры (разряд сотен). Мы уже выбрали две цифры для первого и последнего разрядов. Из 8 исходных цифр осталось $8 - 2 = 6$ свободных цифр. На вторую позицию может встать любая из них. Значит, у нас 6 вариантов.

4. Выбор третьей цифры (разряд десятков). Уже использованы три цифры. Из 8 исходных осталось $8 - 3 = 5$ свободных цифр. Следовательно, для третьей позиции есть 5 вариантов.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно правилу произведения:

Количество чисел = (варианты для последней цифры) $\cdot$ (варианты для первой цифры) $\cdot$ (варианты для второй цифры) $\cdot$ (варианты для третьей цифры)

Количество чисел = $4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 720$

Ответ: 720