Номер 420, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями - номер 420, страница 175.

Условие.

420. Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо определить количество семизначных натуральных чисел, у которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны.

Семизначное число имеет 7 позиций для цифр. Пронумеруем их слева направо: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

• Нечётные места: 1-е, 3-е, 5-е, 7-е. Всего 4 нечётных места.
• Чётные места: 2-е, 4-е, 6-е. Всего 3 чётных места.

Условие задачи состоит из двух частей:

1. Число является натуральным и семизначным, следовательно, первая цифра (на 1-м месте) не может быть нулём.
2. Все цифры на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, 7-м) должны быть различны.

Для нахождения общего количества таких чисел воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Расчет проведем поочередно для нечётных и чётных позиций.

1. Выбор цифр для нечётных мест.

Нам нужно расставить 4 различные цифры на 4 нечётных местах, учитывая, что первая цифра не может быть нулём.

• Для первого места (нечётное) существует 9 вариантов выбора цифры (любая от 1 до 9, так как 0 исключён).
• Для третьего места (нечётное) можно выбрать любую из 10 цифр (0-9), кроме той, что уже стоит на первом месте. Таким образом, остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.
• Для пятого места (нечётное) нужно выбрать цифру, отличную от двух предыдущих, уже стоящих на первом и третьем местах. Остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.
• Для седьмого места (нечётное) нужно выбрать цифру, отличную от трёх предыдущих. Остаётся $10 - 3 = 7$ вариантов.

Количество способов заполнить нечётные места равно произведению числа вариантов для каждого места:$N_{нечетные} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.

Альтернативный способ расчета: общее число способов выбрать 4 разные цифры из 10 и расставить их по 4 местам — это число размещений $A_{10}^4$. Из них нужно вычесть те случаи, когда на первом месте стоит 0. Если на первом месте 0, то на оставшиеся 3 нечётных места нужно расставить 3 разные цифры из оставшихся 9. Это $A_9^3$ способов.$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$$N_{нечетные} = A_{10}^4 - A_9^3 = 5040 - 504 = 4536$.

2. Выбор цифр для чётных мест.

Для цифр, стоящих на чётных местах (2-м, 4-м, 6-м), нет никаких ограничений. Они могут быть любыми (от 0 до 9) и могут повторяться.

• Для второго места существует 10 вариантов (0-9).
• Для четвёртого места существует 10 вариантов (0-9).
• Для шестого места существует 10 вариантов (0-9).

Количество способов заполнить чётные места равно:$N_{четные} = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

3. Общее количество чисел.

Чтобы найти общее количество искомых семизначных чисел, нужно перемножить количество способов заполнения нечётных мест и количество способов заполнения чётных мест:$N_{общее} = N_{нечетные} \times N_{четные} = 4536 \times 1000 = 4\;536\;000$.

Ответ: 4 536 000.