Номер 420, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями. Глава 5. Комбинаторика - номер 420, страница 175.
№420 (с. 175)
Условие. №420 (с. 175)
скриншот условия

420. Сколько имеется семизначных натуральных чисел, в которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны?
Решение 1. №420 (с. 175)

Решение 2. №420 (с. 175)

Решение 3. №420 (с. 175)
Для решения этой задачи необходимо определить количество семизначных натуральных чисел, у которых все цифры, стоящие на нечётных местах, различны.
Семизначное число имеет 7 позиций для цифр. Пронумеруем их слева направо: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Нечётные места: 1-е, 3-е, 5-е, 7-е. Всего 4 нечётных места.
- Чётные места: 2-е, 4-е, 6-е. Всего 3 чётных места.
Условие задачи состоит из двух частей:
- Число является натуральным и семизначным, следовательно, первая цифра (на 1-м месте) не может быть нулём.
- Все цифры на нечётных местах (1-м, 3-м, 5-м, 7-м) должны быть различны.
Для нахождения общего количества таких чисел воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Расчет проведем поочередно для нечётных и чётных позиций.
1. Выбор цифр для нечётных мест.
Нам нужно расставить 4 различные цифры на 4 нечётных местах, учитывая, что первая цифра не может быть нулём.
- Для первого места (нечётное) существует 9 вариантов выбора цифры (любая от 1 до 9, так как 0 исключён).
- Для третьего места (нечётное) можно выбрать любую из 10 цифр (0-9), кроме той, что уже стоит на первом месте. Таким образом, остаётся $10 - 1 = 9$ вариантов.
- Для пятого места (нечётное) нужно выбрать цифру, отличную от двух предыдущих, уже стоящих на первом и третьем местах. Остаётся $10 - 2 = 8$ вариантов.
- Для седьмого места (нечётное) нужно выбрать цифру, отличную от трёх предыдущих. Остаётся $10 - 3 = 7$ вариантов.
Количество способов заполнить нечётные места равно произведению числа вариантов для каждого места:$N_{нечетные} = 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536$.
Альтернативный способ расчета: общее число способов выбрать 4 разные цифры из 10 и расставить их по 4 местам — это число размещений $A_{10}^4$. Из них нужно вычесть те случаи, когда на первом месте стоит 0. Если на первом месте 0, то на оставшиеся 3 нечётных места нужно расставить 3 разные цифры из оставшихся 9. Это $A_9^3$ способов.$A_{10}^4 = \frac{10!}{(10-4)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$$N_{нечетные} = A_{10}^4 - A_9^3 = 5040 - 504 = 4536$.
2. Выбор цифр для чётных мест.
Для цифр, стоящих на чётных местах (2-м, 4-м, 6-м), нет никаких ограничений. Они могут быть любыми (от 0 до 9) и могут повторяться.
- Для второго места существует 10 вариантов (0-9).
- Для четвёртого места существует 10 вариантов (0-9).
- Для шестого места существует 10 вариантов (0-9).
Количество способов заполнить чётные места равно:$N_{четные} = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.
3. Общее количество чисел.
Чтобы найти общее количество искомых семизначных чисел, нужно перемножить количество способов заполнения нечётных мест и количество способов заполнения чётных мест:$N_{общее} = N_{нечетные} \times N_{четные} = 4536 \times 1000 = 4\;536\;000$.
Ответ: 4 536 000.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 420 расположенного на странице 175 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №420 (с. 175), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.