Номер 427, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 3. Перестановки - номер 427, страница 178.

Условие.

427. Упростить:

1) $\frac{19!}{18!}$,

2) $\frac{22!}{20!}$,

3) $\frac{6! \cdot 4!}{8!}$,

4) $\frac{10!}{8! \cdot 3!}$,

5) $\frac{P_{n+2}}{P_n}$,

6) $\frac{P_{n+1}}{P_{n+3}}$,

7) $\frac{m! \cdot (m+1)}{(m+2)!}$,

8) $\frac{(k+4)! \cdot (k+5)}{(k+6)!}$,

если буквами $k$, $m$, $n$ обозначены натуральные числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{19!}{18!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = n \cdot (n-1)!$.
Представим $19!$ как $19 \cdot 18!$.
Тогда выражение примет вид: $\frac{19 \cdot 18!}{18!}$.
Сократим $18!$ в числителе и знаменателе.
$\frac{19 \cdot \cancel{18!}}{\cancel{18!}} = 19$.
Ответ: 19

2) Упростим выражение $\frac{22!}{20!}$.
Используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$, представим $22!$ как $22 \cdot 21 \cdot 20!$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{22 \cdot 21 \cdot 20!}{20!}$.
Сократим $20!$: $\frac{22 \cdot 21 \cdot \cancel{20!}}{\cancel{20!}} = 22 \cdot 21$.
Вычислим произведение: $22 \cdot 21 = 462$.
Ответ: 462

3) Упростим выражение $\frac{6! \cdot 4!}{8!}$.
Представим $8!$ через $6!$: $8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$.
Подставим в дробь: $\frac{6! \cdot 4!}{8 \cdot 7 \cdot 6!}$.
Сократим $6!$: $\frac{\cancel{6!} \cdot 4!}{8 \cdot 7 \cdot \cancel{6!}} = \frac{4!}{8 \cdot 7}$.
Распишем $4!$: $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Получим: $\frac{24}{56}$.
Сократим дробь на 8: $\frac{24 \div 8}{56 \div 8} = \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$

4) Упростим выражение $\frac{10!}{8! \cdot 3!}$.
Представим $10!$ через $8!$: $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8!$.
Подставим в выражение: $\frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8! \cdot 3!}$.
Сократим $8!$: $\frac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9}{3!}$.
Распишем $3!$: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Получим: $\frac{10 \cdot 9}{6} = \frac{90}{6} = 15$.
Ответ: 15

5) Упростим выражение $\frac{P_{n+2}}{P_n}$.
По определению числа перестановок, $P_k = k!$.
Следовательно, выражение равно $\frac{(n+2)!}{n!}$.
Распишем $(n+2)!$ как $(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!$.
Подставим в дробь: $\frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot n!}{n!}$.
Сократим $n!$: $\frac{(n+2) \cdot (n+1) \cdot \cancel{n!}}{\cancel{n!}} = (n+2)(n+1)$.
Ответ: $(n+2)(n+1)$

6) Упро