Номер 431, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Перестановки. Глава 5. Комбинаторика - номер 431, страница 178.

Условие.

431. Имеется 10 книг, среди которых:

1) 8 книг различных авторов и двухтомник одного автора, которого не было среди предыдущих восьми;

2) 7 книг разных авторов и трёхтомник восьмого автора.

Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) 8 книг различных авторов и двухтомник одного автора, которого не было среди предыдущих восьми;

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов расставить 10 книг на полке при условии, что книги одного автора (двухтомник) должны стоять рядом.

Всего имеется 8 книг разных авторов и 2 книги одного автора, что в сумме составляет 10 книг. Поскольку два тома одного автора должны стоять вместе, мы можем рассматривать их как один единый объект или "блок".

Таким образом, у нас есть 8 отдельных книг и 1 "блок" из двух книг. Общее количество элементов для перестановки на полке становится $8 + 1 = 9$.

Количество способов расставить эти 9 элементов на полке равно числу перестановок из 9, то есть $P_9 = 9!$.

$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362\;880$

Теперь необходимо учесть, что внутри "блока" две книги (том 1 и том 2) также можно менять местами. Количество перестановок внутри этого блока равно $P_2 = 2!$.

$2! = 2 \times 1 = 2$

Чтобы найти общее число способов, нужно умножить число перестановок "блоков" на число перестановок книг внутри "блока" (согласно правилу произведения в комбинаторике).

Итоговое количество способов: $N_1 = 9! \times 2! = 362\;880 \times 2 = 725\;760$.

Ответ: $725\;760$ способов.

2) 7 книг разных авторов и трёхтомник восьмого автора.

В этом случае у нас 7 книг разных авторов и 3 книги (трёхтомник) восьмого автора. Условие то же: книги одного автора должны стоять рядом.

Аналогично первому пункту, мы рассматриваем трёхтомник как один единый "блок". Таким образом, у нас есть 7 отдельных книг и 1 "блок" из трех книг. Общее количество элементов для расстановки на полке составляет $7 + 1 = 8$.

Количество способов расставить эти 8 элементов на полке равно числу перестановок из 8, то есть $P_8 = 8!$.

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40\;320$

Внутри "блока" три тома можно переставить между собой $P_3 = 3!$ способами.

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Общее количество способов расстановки находится как произведение числа перестановок "блоков" на число перестановок книг внутри "блока".

Итоговое количество способов: $N_2 = 8! \times 3! = 40\;320 \times 6 = 241\;920$.

Ответ: $241\;920$ способов.