Номер 438, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 4. Размещения без повторений - номер 438, страница 181.

Условие.

438. В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из их состава староста и казначей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В данной задаче нам нужно выбрать двух человек из 30 на две разные должности: старосту и казначея. Поскольку должности не равнозначны, порядок выбора имеет значение. Например, ситуация, когда ученик А — староста, а ученик Б — казначей, отличается от ситуации, когда ученик Б — староста, а ученик А — казначей. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование правила произведения

Сначала выберем старосту. На эту должность может быть выбран любой из 30 учеников, поэтому у нас есть 30 вариантов выбора.

После того, как староста выбран, остается 29 учеников. На должность казначея можно выбрать любого из оставшихся 29 человек. Это дает нам 29 вариантов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов сделать оба выбора равно произведению количества способов для каждого выбора:
$30 \times 29 = 870$

Способ 2: Использование формулы размещений

Число способов выбрать и разместить $k$ объектов из множества, содержащего $n$ различных объектов, называется числом размещений из $n$ по $k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество учеников $n=30$, а количество должностей $k=2$. Подставляем значения в формулу:
$A_{30}^2 = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = \frac{30 \times 29 \times 28!}{28!} = 30 \times 29 = 870$

Оба метода дают одинаковый результат. Таким образом, существует 870 способов выбрать старосту и казначея.

Ответ: 870