Номер 444, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Размещения без повторений. Глава 5. Комбинаторика - номер 444, страница 181.
№444 (с. 181)
Условие. №444 (с. 181)
скриншот условия

444. Доказать, что $A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k$, где $k < n, k \in N, n \in N.$
Решение 1. №444 (с. 181)

Решение 2. №444 (с. 181)

Решение 3. №444 (с. 181)
Для доказательства тождества $A_{n}^{k+1} = (n-k)A_{n}^{k}$ необходимо показать, что его левая и правая части равны при использовании определения числа размещений.
Формула для числа размещений (упорядоченных выборок) из $n$ элементов по $m$ имеет вид: $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$
Преобразуем левую часть равенства, $A_{n}^{k+1}$, подставив в общую формулу $m=k+1$:
$A_{n}^{k+1} = \frac{n!}{(n-(k+1))!} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
Теперь преобразуем правую часть равенства, $(n-k)A_{n}^{k}$. Для этого подставим в нее определение $A_{n}^{k}$ (где $m=k$):
$(n-k)A_{n}^{k} = (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k)!}$
Используя свойство факториала, согласно которому $(n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1)!$, заменим знаменатель в полученном выражении:
$(n-k)A_{n}^{k} = (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k) \cdot (n-k-1)!}$
Сократим общий множитель $(n-k)$ в числителе и знаменателе. Это действие является корректным, так как по условию задачи $k < n$, а значит, $n-k > 0$. В результате получаем:
$(n-k)A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
Таким образом, мы видим, что преобразованные левая и правая части исходного равенства совпали:
$A_{n}^{k+1} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
$(n-k)A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $A_{n}^{k+1} = (n-k)A_{n}^{k}$ доказано путем алгебраических преобразований его левой и правой частей с использованием формулы для числа размещений. Обе части приводятся к виду $\frac{n!}{(n-k-1)!}$, что подтверждает их равенство.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 444 расположенного на странице 181 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №444 (с. 181), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.