Номер 444, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 4. Размещения без повторений - номер 444, страница 181.

Условие.

444. Доказать, что $A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k$, где $k < n, k \in N, n \in N.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества $A_{n}^{k+1} = (n-k)A_{n}^{k}$ необходимо показать, что его левая и правая части равны при использовании определения числа размещений.

Формула для числа размещений (упорядоченных выборок) из $n$ элементов по $m$ имеет вид: $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$

Преобразуем левую часть равенства, $A_{n}^{k+1}$, подставив в общую формулу $m=k+1$:
$A_{n}^{k+1} = \frac{n!}{(n-(k+1))!} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$

Теперь преобразуем правую часть равенства, $(n-k)A_{n}^{k}$. Для этого подставим в нее определение $A_{n}^{k}$ (где $m=k$):
$(n-k)A_{n}^{k} = (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k)!}$

Используя свойство факториала, согласно которому $(n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1)!$, заменим знаменатель в полученном выражении:
$(n-k)A_{n}^{k} = (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k) \cdot (n-k-1)!}$

Сократим общий множитель $(n-k)$ в числителе и знаменателе. Это действие является корректным, так как по условию задачи $k < n$, а значит, $n-k > 0$. В результате получаем:
$(n-k)A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$

Таким образом, мы видим, что преобразованные левая и правая части исходного равенства совпали:
$A_{n}^{k+1} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
$(n-k)A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A_{n}^{k+1} = (n-k)A_{n}^{k}$ доказано путем алгебраических преобразований его левой и правой частей с использованием формулы для числа размещений. Обе части приводятся к виду $\frac{n!}{(n-k-1)!}$, что подтверждает их равенство.