Номер 449, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 449, страница 186.

Условие.

449. Имеется 15 точек на плоскости, причём никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько уникальных пар точек можно выбрать из 15 имеющихся. Каждая такая пара точек однозначно определяет один отрезок. Условие, что никакие 3 точки не лежат на одной прямой, гарантирует, что каждый отрезок, построенный на паре точек, будет уникальным.

Поскольку порядок выбора точек для построения отрезка не имеет значения (отрезок, соединяющий точку A и точку B, — это тот же самый отрезок, что соединяет точку B и точку A), нам нужно вычислить число сочетаний из 15 элементов по 2.

Формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по k выглядит следующим образом:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас есть:

- общее количество точек n = 15;

- количество точек, необходимых для построения одного отрезка, k = 2.

Подставим наши значения в формулу:

$C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!}$

Теперь выполним вычисления, сократив факториалы:

$C_{15}^2 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{2 \cdot 1 \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14}{2}$

$C_{15}^2 = 15 \cdot 7 = 105$

Таким образом, можно построить 105 различных отрезков, соединяя 15 точек попарно.

Ответ: 105