Номер 447, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 447, страница 185.

Условие.

447. Сколько различных аккордов, содержащих 3 звука, можно взять на 13 клавишах одной октавы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов выбрать 3 различные клавиши из 13 доступных. Поскольку порядок нажатия клавиш в аккорде не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае:
- общее количество клавиш $n = 13$.
- количество звуков (клавиш) в аккорде $k = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!}$

Распишем факториалы и произведем сокращение:

$C_{13}^3 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10!}{(3 \times 2 \times 1) \times 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{6}$

Теперь выполним вычисления:

$C_{13}^3 = 13 \times \frac{12}{6} \times 11 = 13 \times 2 \times 11 = 286$

Таким образом, на 13 клавишах можно взять 286 различных аккордов, содержащих 3 звука.

Ответ: 286.