Номер 454, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 454, страница 186.

Условие.

454. Решить уравнение относительно m:

1) $C_m^3 = \frac{4}{15}C_{m+2}^4$;

2) $12C_{m+3}^{m-1} = 55A_{m+1}^2$;

3) $5C_m^3 = C_{m+2}^4$;

4) $C_{3m+1}^{3m-1} = 120$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $C_m^3 = \frac{4}{15}C_{m+2}^4$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $m$. Для числа сочетаний $C_n^k$ должно выполняться условие $n \ge k \ge 0$, где $n$ и $k$ - целые числа. Для $C_m^3$ должно выполняться $m \ge 3$ и $m$ - целое число. Для $C_{m+2}^4$ должно выполняться $m+2 \ge 4$, что означает $m \ge 2$, и $m$ - целое число. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $m \ge 3$ и $m$ - целое число.

Воспользуемся формулой для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и распишем выражения в уравнении:
$C_m^3 = \frac{m!}{3!(m-3)!} = \frac{m(m-1)(m-2)}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{m(m-1)(m-2)}{6}$
$C_{m+2}^4 = \frac{(m+2)!}{4!(m+2-4)!} = \frac{(m+2)!}{4!(m-2)!} = \frac{(m+2)(m+1)m(m-1)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{(m+2)(m+1)m(m-1)}{24}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{m(m-1)(m-2)}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(m+2)(m+1)m(m-1)}{24}$

Так как согласно ОДЗ $m \ge 3$, то $m \ne 0$ и $m-1 \ne 0$. Мы можем сократить обе части уравнения на общий множитель $m(m-1)$:
$\frac{m-2}{6} = \frac{4}{15} \cdot \frac{(m+2)(m+1)}{24}$

Упростим правую часть:
$\frac{m-2}{6} = \frac{4(m+2)(m+1)}{15 \cdot 24} = \frac{(m+2)(m+1)}{15 \cdot 6} = \frac{(m+2)(m+1)}{90}$

Умножим обе части на 90, чтобы избавиться от знаменателей:
$15(m-2) = (m+2)(m+1)$
$15m - 30 = m^2 + 2m + m + 2$
$15m - 30 = m^2 + 3m + 2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$m^2 + 3m - 15m + 2 + 30 = 0$
$m^2 - 12m + 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 32. Подбором находим корни:
$m_1 = 4$, $m_2 = 8$.

Оба корня являются целыми числами и удовлетворяют условию ОДЗ ($m \ge 3$). Следовательно, оба являются решениями уравнения.

Ответ: $m=4, m=8$.

2) $12C_{m+3}^{m-1} = 55A_{m+1}^2$

Определим ОДЗ. Для $C_{m+3}^{m-1}$ должно выполняться $m+3 \ge m-1 \ge 0$. Условие $m+3 \ge m-1$ ($3 \ge -1$) верно всегда. Условие $m-1 \ge 0$ дает $m \ge 1$. Для числа размещений $A_n^k$ должно выполняться $n \ge k \ge 0$. Для $A_{m+1}^2$ имеем $m+1 \ge 2$, откуда $m \ge 1$. Общее ОДЗ: $m \ge 1$ и $m$ - целое число.

Используем формулы $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:
$C_{m+3}^{m-1} = \frac{(m+3)!}{(m-1)!((m+3)-(m-1))!} = \frac{(m+3)!}{(m-1)!4!} = \frac{(m+3)(m+2)(m+1)m}{24}$
$A_{m+1}^2 = \frac{(m+1)!}{(m+1-2)!} = \frac{(m+1)!}{(m-1)!} = (m+1)m$

Подставляем выражения в уравнение:
$12 \cdot \frac{(m+3)(m+2)(m+1)m}{24} = 55 \cdot (m+1)m$

Упрощаем левую часть:
$\frac{1}{2}(m+3)(m+2)(m+1)m = 55(m+1)m$

Поскольку из ОДЗ следует, что $m \ge 1$, мы можем разделить обе части на $(m+1)m$:
$\frac{1}{2}(m+3)(m+2) = 55$
$(m+3)(m+2) = 110$

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:
$m^2 + 5m + 6 = 110$
$m^2 + 5m - 104 = 0$

Решаем с помощью дискриминанта $D = b^2-4ac$:
$D = 5^2 - 4(1)(-104) = 25 + 416 = 441 = 21^2$
$m = \frac{-5 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-5 \pm 21}{2}$
$m_1 = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$m_2 = \frac{-5 - 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Проверяем корни по ОДЗ ($m \ge 1$, целое). Корень $m_1 = 8$ подходит. Корень $m_2 = -13$ не подходит.

Ответ: $m=8$.

3) $5C_m^3 = C_{m+2}^4$

ОДЗ для этого уравнения такое же, как и в задаче 1): $m \ge 3$ и $m$ - целое число.

Подставляем выражения для сочетаний в уравнение:
$5 \cdot \frac{m(m-1)(m-2)}{6} = \frac{(m+2)(m+1)m(m-1)}{24}$

Сокращаем на $m(m-1)$ (т.к. $m \ge 3$):
$5 \cdot \frac{m-2}{6} = \frac{(m+2)(m+1)}{24}$

Умножим обе части на 24, чтобы избавиться от знаменателей:
$24 \cdot 5 \frac{m-2}{6} = (m+2)(m+1)$
$4 \cdot 5 (m-2) = (m+2)(m+1)$
$20(m-2) = m^2 + 3m + 2$
$20m - 40 = m^2 + 3m + 2$

Приводим к стандартному виду:
$m^2 - 17m + 42 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 17, произведение равно 42. Корни:
$m_1 = 3$, $m_2 = 14$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($m \ge 3$, целые).

Ответ: $m=3, m=14$.

4) $C_{3m+1}^{3m-1} = 120$

Определим ОДЗ. Для $C_{3m+1}^{3m-1}$ должно выполняться $3m+1 \ge 3m-1 \ge 0$. Из $3m-1 \ge 0$ следует $3m \ge 1$, то есть $m \ge 1/3$. Так как $m$ должно быть целым, то $m \ge 1$. ОДЗ: $m \ge 1$ и $m$ - целое число.

Упростим выражение для сочетания, используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{3m+1}^{3m-1} = C_{3m+1}^{(3m+1)-(3m-1)} = C_{3m+1}^2 = \frac{(3m+1)!}{2!(3m+1-2)!} = \frac{(3m+1)(3m)}{2}$

Подставляем в уравнение:
$\frac{3m(3m+1)}{2} = 120$

Решаем уравнение:
$3m(3m+1) = 240$
$m(3m+1) = 80$
$3m^2 + m - 80 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 1^2 - 4(3)(-80) = 1 + 960 = 961 = 31^2$
$m = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 31}{6}$
$m_1 = \frac{-1+31}{6} = \frac{30}{6} = 5$
$m_2 = \frac{-1-31}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}$

Проверяем корни по ОДЗ ($m \ge 1$, целое). Корень $m_1 = 5$ подходит. Корень $m_2 = -16/3$ не является целым и не удовлетворяет условию $m \ge 1$.

Ответ: $m=5$.