Номер 459, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 459, страница 186.

Условие.

459. В вазе лежат 5 разных яблок и 6 различных апельсинов. Сколькими способами из них можно выбрать 2 яблока и 2 апельсина?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Нам нужно совершить два независимых действия: выбрать 2 яблока из 5 и выбрать 2 апельсина из 6. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого действия.

Поскольку все яблоки и апельсины различны, а порядок их выбора не имеет значения, мы будем использовать формулу для числа сочетаний без повторений:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, которое нужно выбрать.

1. Найдём количество способов выбрать 2 яблока из 5.

В данном случае $n=5$ (всего яблок), $k=2$ (нужно выбрать яблок).

Число способов выбрать яблоки: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

2. Найдём количество способов выбрать 2 апельсина из 6.

Здесь $n=6$ (всего апельсинов), $k=2$ (нужно выбрать апельсинов).

Число способов выбрать апельсины: $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{720}{48} = 15$.

3. Найдём общее количество способов.

Чтобы найти общее число способов выбрать 2 яблока и 2 апельсина, нужно перемножить количество способов для каждого выбора (согласно правилу произведения в комбинаторике):

Общее число способов = (число способов выбрать яблоки) $\times$ (число способов выбрать апельсины)

Общее число способов = $10 \times 15 = 150$.

Ответ: 150