Номер 465, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 465, страница 187.

Условие.

465. С помощью математической индукции доказать справедливость формулы (6).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства утверждения методом математической индукции необходимо установить справедливость некой формулы (6). Так как сама формула в вопросе не приведена, в качестве примера будет доказана одна из наиболее известных формул, доказываемых этим методом — формула суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел.

Доказываемая формула: $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Доказательство проводится в два этапа: проверка базиса индукции и выполнение индукционного шага.

1. Базис индукции

Проверим справедливость формулы для минимального натурального значения $n=1$.

Подставим $n=1$ в левую часть равенства:

$1^2 = 1$

Подставим $n=1$ в правую часть равенства:

$\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), формула верна для $n=1$. Базис индукции выполнен.

2. Индукционный шаг

Сделаем индукционное предположение: допустим, формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$.

$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Теперь, основываясь на этом предположении, докажем, что формула верна и для следующего натурального числа, то есть для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что:

$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$

Рассмотрим левую часть этого равенства. Мы можем сгруппировать первые $k$ слагаемых и заменить их выражением из нашего индукционного предположения:

$(1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$

Теперь преобразуем полученное выражение. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$

Вынесем общий множитель $(k+1)$ в числителе за скобки:

$\frac{(k+1) [k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$

Раскроем скобки и упростим выражение внутри квадратных скобок:

$\frac{(k+1) [2k^2 + k + 6k + 6]}{6} = \frac{(k+1) (2k^2 + 7k + 6)}{6}$

Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители. Можно заметить, что $(k+2)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$.

Подставим разложение обратно в наше выражение:

$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Теперь упростим правую часть равенства, которое мы доказываем для $n=k+1$:

$\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+2+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Как мы видим, преобразованная левая часть полностью совпадает с правой частью. Это означает, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Индукционный шаг доказан.

Поскольку оба шага метода математической индукции выполнены, формула является верной для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Справедливость формулы доказана методом математической индукции.