Номер 465, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 465, страница 187.
№465 (с. 187)
Условие. №465 (с. 187)
скриншот условия

465. С помощью математической индукции доказать справедливость формулы (6).
Решение 1. №465 (с. 187)

Решение 2. №465 (с. 187)

Решение 3. №465 (с. 187)
Для доказательства утверждения методом математической индукции необходимо установить справедливость некой формулы (6). Так как сама формула в вопросе не приведена, в качестве примера будет доказана одна из наиболее известных формул, доказываемых этим методом — формула суммы квадратов первых $n$ натуральных чисел.
Доказываемая формула: $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Доказательство проводится в два этапа: проверка базиса индукции и выполнение индукционного шага.
1. Базис индукции
Проверим справедливость формулы для минимального натурального значения $n=1$.
Подставим $n=1$ в левую часть равенства:
$1^2 = 1$
Подставим $n=1$ в правую часть равенства:
$\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1+1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Поскольку левая и правая части равны ($1=1$), формула верна для $n=1$. Базис индукции выполнен.
2. Индукционный шаг
Сделаем индукционное предположение: допустим, формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$.
$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$
Теперь, основываясь на этом предположении, докажем, что формула верна и для следующего натурального числа, то есть для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что:
$1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
Рассмотрим левую часть этого равенства. Мы можем сгруппировать первые $k$ слагаемых и заменить их выражением из нашего индукционного предположения:
$(1^2 + 2^2 + \dots + k^2) + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$
Теперь преобразуем полученное выражение. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{6(k+1)^2}{6} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$
Вынесем общий множитель $(k+1)$ в числителе за скобки:
$\frac{(k+1) [k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$
Раскроем скобки и упростим выражение внутри квадратных скобок:
$\frac{(k+1) [2k^2 + k + 6k + 6]}{6} = \frac{(k+1) (2k^2 + 7k + 6)}{6}$
Разложим квадратный трехчлен $2k^2 + 7k + 6$ на множители. Можно заметить, что $(k+2)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$.
Подставим разложение обратно в наше выражение:
$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
Теперь упростим правую часть равенства, которое мы доказываем для $n=k+1$:
$\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+2+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
Как мы видим, преобразованная левая часть полностью совпадает с правой частью. Это означает, что если формула верна для $n=k$, то она верна и для $n=k+1$. Индукционный шаг доказан.
Поскольку оба шага метода математической индукции выполнены, формула является верной для всех натуральных чисел $n$.
Ответ: Справедливость формулы доказана методом математической индукции.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 465 расположенного на странице 187 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №465 (с. 187), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.