Номер 462, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 462, страница 186.

Условие.

462. Найти член разложения $ \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{16} $, содержащий $ x^3 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения члена разложения бинома $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{16}$, содержащего $x^3$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

В нашем случае $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $b = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}$ и $n=16$.

Подставим эти значения в формулу общего члена:

$T_{k+1} = C_{16}^k (x^{1/2})^{16-k} (x^{-1/3})^k$

Упростим выражение, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = C_{16}^k x^{\frac{1}{2}(16-k)} x^{-\frac{1}{3}k} = C_{16}^k x^{\frac{16-k}{2} - \frac{k}{3}}$

Мы ищем член, содержащий $x^3$. Это означает, что показатель степени при $x$ должен быть равен 3. Составим и решим уравнение относительно $k$:

$\frac{16-k}{2} - \frac{k}{3} = 3$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{3(16-k) - 2k}{6} = 3$

$3(16-k) - 2k = 18$

$48 - 3k - 2k = 18$

$48 - 5k = 18$

$5k = 48 - 18$

$5k = 30$

$k = 6$

Поскольку $k=6$ является целым неотрицательным числом ($0 \le 6 \le 16$), искомый член существует. Это $(k+1)$-й, то есть $(6+1)=7$-й член разложения. Теперь найдем его, подставив $k=6$ в формулу общего члена:

$T_7 = C_{16}^6 x^3$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{16}^6$:

$C_{16}^6 = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16!}{6!10!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Проведем сокращения:

$C_{16}^6 = \frac{16}{4} \cdot \frac{15}{5 \cdot 3} \cdot 14 \cdot 13 \cdot \frac{12}{6 \cdot 2} \cdot 11 = 4 \cdot 1 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 1 \cdot 11 = 4 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11$

$C_{16}^6 = 56 \cdot 143 = 8008$

Таким образом, искомый член разложения равен $8008x^3$.

Ответ: $8008x^3$