Номер 457, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 457, страница 186.

Условие.

457. Решить уравнение:

1) $C_x^2 + C_x^3 = 15(x-1);$

2) $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 15(x-2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $C_x^2 + C_x^3 = 15(x-1)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Число сочетаний $C_n^k$ определено для целых $n$ и $k$, где $n \ge k \ge 0$.

Для $C_x^2$ необходимо, чтобы $x$ было целым числом и $x \ge 2$.

Для $C_x^3$ необходимо, чтобы $x$ было целым числом и $x \ge 3$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$, $x \in \mathbb{Z}$.

Для решения воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов (тождество Паскаля): $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$. В нашем случае $n=x$ и $k=2$.

Следовательно, левая часть уравнения $C_x^2 + C_x^3$ равна $C_{x+1}^3$.

Уравнение принимает вид: $C_{x+1}^3 = 15(x-1)$.

Распишем $C_{x+1}^3$ по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{x+1}^3 = \frac{(x+1)!}{3!((x+1)-3)!} = \frac{(x+1)!}{6(x-2)!} = \frac{(x+1)x(x-1)(x-2)!}{6(x-2)!} = \frac{(x+1)x(x-1)}{6}$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$\frac{(x+1)x(x-1)}{6} = 15(x-1)$.

Согласно ОДЗ, $x \ge 3$, поэтому $x-1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(x-1)$:

$\frac{(x+1)x}{6} = 15$.

$x(x+1) = 90$.

$x^2 + x - 90 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна $-1$, а произведение равно $-90$. Это числа $9$ и $-10$.

Корни уравнения: $x_1 = 9$, $x_2 = -10$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3, x \in \mathbb{Z}$):

• $x_1 = 9$ удовлетворяет условиям.
• $x_2 = -10$ не удовлетворяет условиям, так как $-10 < 3$.

Таким образом, единственным решением является $x=9$.

Ответ: $x=9$.

2) Решим уравнение $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 15(x-2)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Для $C_{x-1}^3$ необходимо, чтобы $x-1$ было целым числом и $x-1 \ge 3$, то есть $x \ge 4$.

Для $C_{x-1}^2$ необходимо, чтобы $x-1$ было целым числом и $x-1 \ge 2$, то есть $x \ge 3$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 4$, $x \in \mathbb{Z}$.

Воспользуемся тождеством Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В нашем случае $n = x-1$ и $k=3$.

Следовательно, левая часть уравнения $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2$ равна $C_{(x-1)+1}^3 = C_x^3$.

Уравнение принимает вид: $C_x^3 = 15(x-2)$.

Распишем $C_x^3$ по формуле:

$C_x^3 = \frac{x!}{3!(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{6(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$.

Подставим это выражение в уравнение:

$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 15(x-2)$.

Согласно ОДЗ, $x \ge 4$, поэтому $x-2 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(x-2)$:

$\frac{x(x-1)}{6} = 15$.

$x(x-1) = 90$.

$x^2 - x - 90 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна $1$, а произведение равно $-90$. Это числа $10$ и $-9$.

Корни уравнения: $x_1 = 10$, $x_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4, x \in \mathbb{Z}$):

• $x_1 = 10$ удовлетворяет условиям.
• $x_2 = -9$ не удовлетворяет условиям, так как $-9 < 4$.

Таким образом, единственным решением является $x=10$.

Ответ: $x=10$.