Номер 457, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 457, страница 186.
№457 (с. 186)
Условие. №457 (с. 186)
скриншот условия

457. Решить уравнение:
1) $C_x^2 + C_x^3 = 15(x-1);$
2) $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 15(x-2).$
Решение 1. №457 (с. 186)


Решение 2. №457 (с. 186)

Решение 3. №457 (с. 186)
1) Решим уравнение $C_x^2 + C_x^3 = 15(x-1)$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Число сочетаний $C_n^k$ определено для целых $n$ и $k$, где $n \ge k \ge 0$.
Для $C_x^2$ необходимо, чтобы $x$ было целым числом и $x \ge 2$.
Для $C_x^3$ необходимо, чтобы $x$ было целым числом и $x \ge 3$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$, $x \in \mathbb{Z}$.
Для решения воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов (тождество Паскаля): $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$. В нашем случае $n=x$ и $k=2$.
Следовательно, левая часть уравнения $C_x^2 + C_x^3$ равна $C_{x+1}^3$.
Уравнение принимает вид: $C_{x+1}^3 = 15(x-1)$.
Распишем $C_{x+1}^3$ по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_{x+1}^3 = \frac{(x+1)!}{3!((x+1)-3)!} = \frac{(x+1)!}{6(x-2)!} = \frac{(x+1)x(x-1)(x-2)!}{6(x-2)!} = \frac{(x+1)x(x-1)}{6}$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$\frac{(x+1)x(x-1)}{6} = 15(x-1)$.
Согласно ОДЗ, $x \ge 3$, поэтому $x-1 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(x-1)$:
$\frac{(x+1)x}{6} = 15$.
$x(x+1) = 90$.
$x^2 + x - 90 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна $-1$, а произведение равно $-90$. Это числа $9$ и $-10$.
Корни уравнения: $x_1 = 9$, $x_2 = -10$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3, x \in \mathbb{Z}$):
- $x_1 = 9$ удовлетворяет условиям.
- $x_2 = -10$ не удовлетворяет условиям, так как $-10 < 3$.
Таким образом, единственным решением является $x=9$.
Ответ: $x=9$.
2) Решим уравнение $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2 = 15(x-2)$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $C_{x-1}^3$ необходимо, чтобы $x-1$ было целым числом и $x-1 \ge 3$, то есть $x \ge 4$.
Для $C_{x-1}^2$ необходимо, чтобы $x-1$ было целым числом и $x-1 \ge 2$, то есть $x \ge 3$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 4$, $x \in \mathbb{Z}$.
Воспользуемся тождеством Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В нашем случае $n = x-1$ и $k=3$.
Следовательно, левая часть уравнения $C_{x-1}^3 + C_{x-1}^2$ равна $C_{(x-1)+1}^3 = C_x^3$.
Уравнение принимает вид: $C_x^3 = 15(x-2)$.
Распишем $C_x^3$ по формуле:
$C_x^3 = \frac{x!}{3!(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{6(x-3)!} = \frac{x(x-1)(x-2)}{6}$.
Подставим это выражение в уравнение:
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = 15(x-2)$.
Согласно ОДЗ, $x \ge 4$, поэтому $x-2 \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $(x-2)$:
$\frac{x(x-1)}{6} = 15$.
$x(x-1) = 90$.
$x^2 - x - 90 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна $1$, а произведение равно $-90$. Это числа $10$ и $-9$.
Корни уравнения: $x_1 = 10$, $x_2 = -9$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 4, x \in \mathbb{Z}$):
- $x_1 = 10$ удовлетворяет условиям.
- $x_2 = -9$ не удовлетворяет условиям, так как $-9 < 4$.
Таким образом, единственным решением является $x=10$.
Ответ: $x=10$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 457 расположенного на странице 186 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №457 (с. 186), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.