Номер 461, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 461, страница 186.

Условие.

461. Найти член разложения $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$, содержащий $x^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения искомого члена разложения воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$,

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае дано разложение выражения $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$.

Здесь $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ и $n = 10$.

Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k (\sqrt{x})^{10-k} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^k$

Преобразуем это выражение, используя свойства степеней:

$T_{k+1} = C_{10}^k (x^{1/2})^{10-k} (x^{-1/2})^k = C_{10}^k x^{\frac{10-k}{2}} x^{-\frac{k}{2}} = C_{10}^k x^{\frac{10-k-k}{2}} = C_{10}^k x^{\frac{10-2k}{2}} = C_{10}^k x^{5-k}$

По условию задачи, нам нужно найти член, содержащий $x^2$. Это означает, что показатель степени переменной $x$ должен быть равен 2.

Приравняем показатель степени к 2 и найдем соответствующее значение $k$:

$5 - k = 2$

$k = 5 - 2$

$k = 3$

Найденное значение $k=3$ является целым числом в диапазоне от 0 до 10, следовательно, такой член в разложении существует. Это будет $(k+1)$-й, то есть четвертый член разложения.

Теперь подставим $k=3$ в формулу общего члена, чтобы найти сам член разложения:

$T_{3+1} = T_4 = C_{10}^3 x^{5-3} = C_{10}^3 x^2$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{10}^3$:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Таким образом, искомый член разложения равен $120x^2$.

Ответ: $120x^2$.