Номер 463, страница 187 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 463, страница 187.

Условие.

463. На плоскости проведены $k$ прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Определить число точек пересечения этих прямых.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения числа точек пересечения $k$ прямых на плоскости воспользуемся условиями, данными в задаче.

Условие 1: Никакие две из них не параллельны. Это означает, что любая пара прямых имеет ровно одну точку пересечения. Если бы какие-то две прямые были параллельны, они бы не пересекались.

Условие 2: Никакие три не пересекаются в одной точке. Это означает, что каждая точка пересечения является уникальной для одной конкретной пары прямых. Никакая другая пара прямых не даст эту же точку.

Из этих двух условий следует, что для нахождения общего числа точек пересечения нам необходимо посчитать, сколько всего уникальных пар прямых можно составить из $k$ имеющихся прямых. Каждая такая пара даст одну уникальную точку пересечения.

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из $k$ элементов по 2. В комбинаторике это обозначается как $C_k^2$ или $\binom{k}{2}$ и вычисляется по формуле:

$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

В нашем случае общее число элементов $n=k$ (количество прямых), а размер выбираемой группы $m=2$ (поскольку для пересечения нужны две прямые). Подставляем эти значения в формулу:

$C_k^2 = \frac{k!}{2!(k-2)!}$

Теперь упростим выражение, раскрыв факториал в числителе:

$C_k^2 = \frac{k \cdot (k-1) \cdot (k-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (k-2)!}$

Сократив $(k-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем конечную формулу:

$C_k^2 = \frac{k(k-1)}{2}$

Это и есть искомое число точек пересечения.

Ответ: Число точек пересечения равно $\frac{k(k-1)}{2}$.