Номер 458, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 458, страница 186.

Условие.

458. Доказать свойство числа сочетаний

$C_m^n = C_m^{m-n}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства тождества $C_m^n = C_m^{m-n}$ можно использовать два подхода: алгебраический (основанный на формулах) и комбинаторный (основанный на логических рассуждениях).

Алгебраическое доказательство

Число сочетаний из $m$ элементов по $n$ (где $m \ge n \ge 0$) определяется по формуле: $$ C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!} $$ где $k!$ обозначает факториал числа $k$.

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства, $C_m^{m-n}$, и применим к ней ту же формулу, подставив $m-n$ вместо $n$: $$ C_m^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!(m-(m-n))!} $$

Упростим выражение в знаменателе во второй скобке: $$ (m-(m-n))! = (m-m+n)! = n! $$

Таким образом, выражение для $C_m^{m-n}$ принимает вид: $$ C_m^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!n!} $$

Сравнивая полученное выражение с исходной формулой для $C_m^n$, видим, что они идентичны, так как порядок сомножителей в знаменателе не имеет значения ($n!(m-n)! = (m-n)!n!$). Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Алгебраическое доказательство основано на тождественности выражений $\frac{m!}{n!(m-n)!}$ и $\frac{m!}{(m-n)!(m-(m-n))!}$ после упрощения.

Комбинаторное доказательство

Число сочетаний $C_m^n$ по определению равно количеству способов выбрать $n$ элементов из множества, содержащего $m$ различных элементов.

Рассмотрим процесс выбора. Каждый раз, когда мы выбираем группу из $n$ элементов из общего множества, мы одновременно и однозначно определяем группу из оставшихся $m-n$ элементов, которые мы не выбрали.

Например, если из группы в 10 человек ($m=10$) нужно выбрать 3 человека ($n=3$) для участия в соревновании, то этот выбор автоматически определяет группу из 7 человек ($m-n=7$), которые остаются в запасе. Каждому уникальному выбору троих участников соответствует уникальный выбор семерых оставшихся.

Следовательно, количество способов выбрать $n$ элементов из $m$ в точности равно количеству способов выбрать $m-n$ элементов (которые мы оставляем).

• Количество способов выбрать $n$ элементов из $m$ равно $C_m^n$.
• Количество способов выбрать (или оставить) $m-n$ элементов из $m$ равно $C_m^{m-n}$.

Поскольку эти два действия эквивалентны и количество вариантов для них совпадает, мы приходим к выводу, что $C_m^n = C_m^{m-n}$.

Ответ: Комбинаторное доказательство основано на том, что выбор $n$ элементов из множества $m$ эквивалентен выбору $m-n$ элементов, которые не будут включены в выборку, а значит, количество способов в обоих случаях одинаково.