Номер 458, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 458, страница 186.
№458 (с. 186)
Условие. №458 (с. 186)
скриншот условия

458. Доказать свойство числа сочетаний
$C_m^n = C_m^{m-n}$
Решение 1. №458 (с. 186)

Решение 2. №458 (с. 186)

Решение 3. №458 (с. 186)
Для доказательства тождества $C_m^n = C_m^{m-n}$ можно использовать два подхода: алгебраический (основанный на формулах) и комбинаторный (основанный на логических рассуждениях).
Алгебраическое доказательство
Число сочетаний из $m$ элементов по $n$ (где $m \ge n \ge 0$) определяется по формуле: $$ C_m^n = \frac{m!}{n!(m-n)!} $$ где $k!$ обозначает факториал числа $k$.
Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства, $C_m^{m-n}$, и применим к ней ту же формулу, подставив $m-n$ вместо $n$: $$ C_m^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!(m-(m-n))!} $$
Упростим выражение в знаменателе во второй скобке: $$ (m-(m-n))! = (m-m+n)! = n! $$
Таким образом, выражение для $C_m^{m-n}$ принимает вид: $$ C_m^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!n!} $$
Сравнивая полученное выражение с исходной формулой для $C_m^n$, видим, что они идентичны, так как порядок сомножителей в знаменателе не имеет значения ($n!(m-n)! = (m-n)!n!$). Следовательно, равенство доказано.
Ответ: Алгебраическое доказательство основано на тождественности выражений $\frac{m!}{n!(m-n)!}$ и $\frac{m!}{(m-n)!(m-(m-n))!}$ после упрощения.
Комбинаторное доказательство
Число сочетаний $C_m^n$ по определению равно количеству способов выбрать $n$ элементов из множества, содержащего $m$ различных элементов.
Рассмотрим процесс выбора. Каждый раз, когда мы выбираем группу из $n$ элементов из общего множества, мы одновременно и однозначно определяем группу из оставшихся $m-n$ элементов, которые мы не выбрали.
Например, если из группы в 10 человек ($m=10$) нужно выбрать 3 человека ($n=3$) для участия в соревновании, то этот выбор автоматически определяет группу из 7 человек ($m-n=7$), которые остаются в запасе. Каждому уникальному выбору троих участников соответствует уникальный выбор семерых оставшихся.
Следовательно, количество способов выбрать $n$ элементов из $m$ в точности равно количеству способов выбрать $m-n$ элементов (которые мы оставляем).
- Количество способов выбрать $n$ элементов из $m$ равно $C_m^n$.
- Количество способов выбрать (или оставить) $m-n$ элементов из $m$ равно $C_m^{m-n}$.
Поскольку эти два действия эквивалентны и количество вариантов для них совпадает, мы приходим к выводу, что $C_m^n = C_m^{m-n}$.
Ответ: Комбинаторное доказательство основано на том, что выбор $n$ элементов из множества $m$ эквивалентен выбору $m-n$ элементов, которые не будут включены в выборку, а значит, количество способов в обоих случаях одинаково.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 458 расположенного на странице 186 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №458 (с. 186), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.