Номер 460, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 460, страница 186.

Условие.

460. Колода карт содержит по 13 карт каждой из четырёх мастей. Сколькими способами можно выбрать из колоды следующий набор: 3 карты пиковой, 4 карты трефовой, 5 карт червовой, 2 карты бубновой масти?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Поскольку порядок выбора карт в наборе не важен, мы будем использовать формулу для числа сочетаний. Выборы карт для каждой из четырех мастей являются независимыми событиями, поэтому общее количество способов находится как произведение числа способов для каждой масти (согласно правилу произведения).

Формула для числа сочетаний из n элементов по k: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В колоде имеется по 13 карт каждой масти. Рассчитаем количество способов выбора для каждой масти отдельно.

Выбор 3 карт пиковой масти
Число способов выбрать 3 карты из 13 карт пиковой масти: $C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 2 \cdot 11 = 286$ способов.

Выбор 4 карт трефовой масти
Число способов выбрать 4 карты из 13 карт трефовой масти: $C_{13}^4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 5 \cdot 11 = 715$ способов.

Выбор 5 карт червовой масти
Число способов выбрать 5 карт из 13 карт червовой масти: $C_{13}^5 = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5!8!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 11 \cdot 9 = 1287$ способов.

Выбор 2 карт бубновой масти
Число способов выбрать 2 карты из 13 карт бубновой масти: $C_{13}^2 = \frac{13!}{2!(13-2)!} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{13 \cdot 12}{2 \cdot 1} = 13 \cdot 6 = 78$ способов.

Общее количество способов
Чтобы найти общее количество способов сформировать требуемый набор, необходимо перемножить количество способов для каждой масти: $N = C_{13}^3 \cdot C_{13}^4 \cdot C_{13}^5 \cdot C_{13}^2 = 286 \cdot 715 \cdot 1287 \cdot 78$
$N = 204490 \cdot 100386 = 20\,527\,952\,460$

Ответ: 20 527 952 460.