Номер 466, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 6. Сочетания с повторениями - номер 466, страница 188.

Условие.

466. Вычислить:

1) $\overline{C}_4^6$;

2) $\overline{C}_6^4$;

3) $\overline{C}_9^2$;

4) $\overline{C}_2^9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данные выражения представляют собой число сочетаний с повторениями. Формула для их вычисления:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

где $n$ — количество типов элементов, из которых делается выбор, а $k$ — количество элементов в каждой выборке.

1)

Необходимо вычислить $\bar{C}_4^6$.

В этом случае $n=4$, $k=6$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_4^6 = C_{4+6-1}^6 = C_9^6$

Для упрощения расчетов используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_9^6 = C_9^{9-6} = C_9^3$

Вычисляем значение:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Ответ: 84

2)

Необходимо вычислить $\bar{C}_6^4$.

Здесь $n=6$, $k=4$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_6^4 = C_{6+4-1}^4 = C_9^4$

Вычисляем значение:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$

Ответ: 126

3)

Необходимо вычислить $\bar{C}_9^2$.

Здесь $n=9$, $k=2$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_9^2 = C_{9+2-1}^2 = C_{10}^2$

Вычисляем значение:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9 = 45$

Ответ: 45

4)

Необходимо вычислить $\bar{C}_2^9$.

Здесь $n=2$, $k=9$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_2^9 = C_{2+9-1}^9 = C_{10}^9$

Используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1$

Вычисляем значение:

$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1 \cdot 9!} = 10$

Ответ: 10