Номер 473, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 473, страница 189.

Условие.

473. Решить относительно n уравнение:

1) $ \frac{P_{n+2}}{P_n} = 12 $;

2) $ \frac{1}{P_{n-4}} = \frac{20}{P_{n-2}} $;

3) $ A_{n+1}^4 = 6n(n+1) $;

4) $ A_{n-1}^5 = 2A_{n-2}^5 $;

5) $ \frac{C_{n+1}^3}{C_n^4} = \frac{8}{5} $;

6) $ C_n^3 = 4C_{n-2}^2 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $ \frac{P_{n+2}}{P_n} = 12 $.
Используем формулу числа перестановок $ P_k = k! $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для $ n $ определяется условиями $ n+2 \ge 0 $ и $ n \ge 0 $. Так как $ n $ должно быть целым неотрицательным числом, ОДЗ: $ n \in \{0, 1, 2, ...\} $.
Подставляем формулу в уравнение:
$ \frac{(n+2)!}{n!} = 12 $
Распишем факториал в числителе: $ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! $.
$ \frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 12 $
Сокращаем $ n! $ (так как $ n! \ne 0 $):
$ (n+2)(n+1) = 12 $
Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение:
$ n^2 + n + 2n + 2 = 12 $
$ n^2 + 3n - 10 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 2 $ и $ n_2 = -5 $.
Корень $ n_2 = -5 $ не входит в ОДЗ. Следовательно, решением является $ n=2 $.
Ответ: $ n=2 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{P_{n-4}} = \frac{20}{P_{n-2}} $.
Используем формулу $ P_k = k! $.
ОДЗ: $ n-4 \ge 0 \Rightarrow n \ge 4 $ и $ n-2 \ge 0 \Rightarrow n \ge 2 $. Объединяя условия, получаем $ n \ge 4 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Преобразуем уравнение:
$ P_{n-2} = 20 \cdot P_{n-4} $
$ (n-2)! = 20 \cdot (n-4)! $
Распишем $ (n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)! $.
$ (n-2)(n-3)(n-4)! = 20 \cdot (n-4)! $
Сокращаем $ (n-4)! $ (так как по ОДЗ $ n \ge 4 $, то $ (n-4)! \ne 0 $):
$ (n-2)(n-3) = 20 $
$ n^2 - 3n - 2n + 6 = 20 $
$ n^2 - 5n - 14 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 7 $ и $ n_2 = -2 $.
Корень $ n_2 = -2 $ не входит в ОДЗ ($ n \ge 4 $). Следовательно, решением является $ n=7 $.
Ответ: $ n=7 $.

3) Исходное уравнение: $ A_{n+1}^4 = 6n(n+1) $.
Используем формулу числа размещений $ A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n+1 \ge 4 \Rightarrow n \ge 3 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулу в уравнение:
$ \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} = 6n(n+1) $
$ \frac{(n+1)!}{(n-3)!} = 6n(n+1) $
Распишем факториал в числителе: $ (n+1)! = (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)! $.
$ \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} = 6n(n+1) $
$ (n+1)n(n-1)(n-2) = 6n(n+1) $
По ОДЗ $ n \ge 3 $, значит $ n > 0 $ и $ n+1 > 0 $. Можем разделить обе части на $ n(n+1) $:
$ (n-1)(n-2) = 6 $
$ n^2 - 2n - n + 2 = 6 $
$ n^2 - 3n - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 4 $ и $ n_2 = -1 $.
Корень $ n_2 = -1 $ не входит в ОДЗ ($ n \ge 3 $). Следовательно, решением является $ n=4 $.
Ответ: $ n=4 $.

4) Исходное уравнение: $ A_{n-1}^5 = 2A_{n-2}^5 $.
Используем формулу $ A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n-1 \ge 5 \Rightarrow n \ge 6 $ и $ n-2 \ge 5 \Rightarrow n \ge 7 $. Объединяя, получаем $ n \ge 7 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулы в уравнение:
$ \frac{(n-1)!}{(n-1-5)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-2-5)!} $
$ \frac{(n-1)!}{(n-6)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-7)!} $
Распишем факториалы: $ (n-1)! = (n-1)(n-2)! $ и $ (n-6)! = (n-6)(n-7)! $.
$ \frac{(n-1)(n-2)!}{(n-6)(n-7)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-7)!} $
Сокращаем $ (n-2)! $ и $ (n-7)! $ (по ОДЗ они не равны нулю):
$ \frac{n-1}{n-6} = 2 $
$ n-1 = 2(n-6) $
$ n-1 = 2n - 12 $
$ n = 11 $
Корень $ n=11 $ удовлетворяет ОДЗ ($ n \ge 7 $).
Ответ: $ n=11 $.

5) Исходное уравнение: $ \frac{C_{n+1}^3}{C_n^4} = \frac{8}{5} $.
Используем формулу числа сочетаний $ C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n+1 \ge 3 \Rightarrow n \ge 2 $ и $ n \ge 4 $. Объединяя, получаем $ n \ge 4 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулы в уравнение:
$ \frac{\frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{8}{5} $
$ \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} \cdot \frac{4!(n-4)!}{n!} = \frac{8}{5} $
Распишем факториалы: $ (n+1)! = (n+1)n! $, $ 4! = 4 \cdot 3! $, $ (n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)! $.
$ \frac{(n+1)n! \cdot 4 \cdot 3! \cdot (n-4)!}{3! \cdot (n-2)(n-3)(n-4)! \cdot n!} = \frac{8}{5} $
Сокращаем одинаковые множители:
$ \frac{4(n+1)}{(n-2)(n-3)} = \frac{8}{5} $
$ 5 \cdot 4(n+1) = 8(n-2)(n-3) $
$ 20(n+1) = 8(n^2 - 5n + 6) $
Делим обе части на 4:
$ 5(n+1) = 2(n^2 - 5n + 6) $
$ 5n + 5 = 2n^2 - 10n + 12 $
$ 2n^2 - 15n + 7 = 0 $
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(2)(7) = 225 - 56 = 169 = 13^2 $.
$ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 13}{4} $
$ n_1 = \frac{15+13}{4} = \frac{28}{4} = 7 $
$ n_2 = \frac{15-13}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $
Корень $ n_2 = 0.5 $ не является целым числом. Корень $ n_1 = 7 $ удовлетворяет ОДЗ ($ n \ge 4 $).
Ответ: $ n=7 $.

6) Исходное уравнение: $ C_n^3 = 4C_{n-2}^2 $.
Используем формулу $ C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n \ge 3 $ и $ n-2 \ge 2 \Rightarrow n \ge 4 $. Объединяя, получаем $ n \ge 4 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулы в уравнение:
$ \frac{n!}{3!(n-3)!} = 4 \cdot \frac{(n-2)!}{2!(n-2-2)!} $
$ \frac{n!}{6(n-3)!} = 4 \cdot \frac{(n-2)!}{2(n-4)!} $
$ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)!} $
Сокращаем факториалы:
$ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 2(n-2)(n-3) $
По ОДЗ $ n \ge 4 $, значит $ n-2 \ne 0 $. Можем разделить обе части на $ (n-2) $:
$ \frac{n(n-1)}{6} = 2(n-3) $
$ n(n-1) = 12(n-3) $
$ n^2 - n = 12n - 36 $
$ n^2 - 13n + 36 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 4 $ и $ n_2 = 9 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ n \ge 4 $).
Ответ: $ n=4, n=9 $.