Номер 471, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 471, страница 189.

Условие.

471. Упростить:

1) $\frac{(n+2)!}{n!}$;

2) $(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!})n!.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы упростить дробь $\frac{(n+2)!}{n!}$, воспользуемся определением факториала. Факториал числа $k$ есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$ включительно: $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$.
Исходя из этого, мы можем расписать $(n+2)!$ следующим образом:
$(n+2)! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$.
Заметим, что произведение от 1 до $n$ равно $n!$. Поэтому $(n+2)!$ можно представить в виде:
$(n+2)! = n! \cdot (n+1) \cdot (n+2)$.
Теперь подставим это представление в исходное выражение:
$\frac{(n+2)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1)(n+2)}{n!}$.
Сокращаем общий множитель $n!$ в числителе и знаменателе:
$(n+1)(n+2)$.
Раскрыв скобки, можно также получить эквивалентное выражение: $n^2 + 3n + 2$.
Ответ: $(n+1)(n+2)$.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!})n!$.
Для его упрощения раскроем скобки, умножив $n!$ на каждый член разности:
$(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}) \cdot n! = \frac{1}{n!} \cdot n! - \frac{1}{(n+1)!} \cdot n! = \frac{n!}{n!} - \frac{n!}{(n+1)!}$.
Теперь упростим получившиеся дроби.
Первая дробь: $\frac{n!}{n!} = 1$.
Для второй дроби воспользуемся свойством факториала: $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$.
$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{n! \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1}$.
Подставим упрощенные значения обратно в выражение:
$1 - \frac{1}{n+1}$.
Чтобы получить окончательный ответ в виде одной дроби, приведем к общему знаменателю $(n+1)$:
$1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $\frac{n}{n+1}$.