Страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

468. Семь детских игрушек выбираются из игрушек четырёх видов. Сколькими способами это можно сделать, если игрушек каждого вида больше семи?

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа сочетаний с повторениями. Нам необходимо выбрать $k=7$ игрушек, при этом есть $n=4$ вида игрушек на выбор. Условие, что игрушек каждого вида больше семи, означает, что мы можем выбрать любое количество игрушек любого вида (вплоть до семи), и они не закончатся. Поскольку порядок выбора игрушек не имеет значения, а важен лишь итоговый состав набора, мы используем формулу для сочетаний с повторениями.

Число сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \binom{n+k-1}{k}$

В нашем случае количество видов игрушек $n=4$, а количество выбираемых игрушек $k=7$. Подставим эти значения в формулу:

$\bar{C}_4^7 = C_{4+7-1}^7 = C_{10}^7$

Теперь вычислим значение полученного биномиального коэффициента:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

Сократим дробь:

$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Таким образом, существует 120 способов выбрать 7 игрушек из 4 видов.

Ответ: 120

469. Сколько существует различных прямоугольных параллелепипедов, если длина каждого его ребра может выражаться любым целым числом от 1 до 8?

Задача состоит в том, чтобы найти количество уникальных наборов из трех измерений (длина, ширина, высота) для прямоугольного параллелепипеда. Обозначим эти измерения как a, b и c. Согласно условию, каждое из них может принимать любое целое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Ключевым моментом является то, что два параллелепипеда считаются "различными", только если их наборы измерений не совпадают. Порядок измерений не важен, то есть параллелепипед с размерами {a, b, c} — это тот же самый, что и с размерами {b, a, c}, {c, b, a} и так далее. Например, параллелепипед 2x3x4 эквивалентен параллелепипеду 4x2x3.

Следовательно, нам нужно найти количество неупорядоченных наборов из трех чисел, которые можно составить из восьми доступных целых чисел, причем числа в наборе могут повторяться. Эту задачу можно решить, рассмотрев все возможные случаи соотношения длин ребер.

Случай 1: Все три ребра имеют разную длину (a ≠ b ≠ c).
В этом случае мы выбираем 3 различных числа из 8 возможных. Это классическая задача на сочетания без повторений. Количество таких сочетаний вычисляется по формуле:
$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Для нашего случая $n=8$ (количество чисел на выбор) и $k=3$ (количество измерений).
$C_8^3 = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$
Таким образом, существует 56 параллелепипедов, у которых все три измерения различны.

Случай 2: Два ребра имеют одинаковую длину, а третье — другую (a = b, a ≠ c).
Здесь нам нужно выбрать два разных числа из восьми: одно для пары одинаковых ребер, другое — для третьего ребра.
Сначала выберем значение для двух одинаковых ребер. Для этого есть 8 вариантов (от 1 до 8).
Затем выберем значение для третьего ребра, которое должно отличаться от первого. Для этого остается 7 вариантов.
Итого получаем $8 \times 7 = 56$ вариантов. Например, если мы выбрали {2, 5}, это может быть параллелепипед 2x2x5 или 5x5x2 — это разные наборы измерений, и наш метод их оба учитывает.

Случай 3: Все три ребра имеют одинаковую длину (a = b = c).
Такие параллелепипеды являются кубами. Длина ребра куба может быть любым целым числом от 1 до 8. Следовательно, существует ровно 8 таких вариантов: 1x1x1, 2x2x2, ..., 8x8x8.

Общее количество.
Чтобы найти общее количество различных параллелепипедов, нужно сложить количества, полученные в каждом из трех случаев:
$56 + 56 + 8 = 120$

Эту задачу можно также решить быстрее с помощью формулы для сочетаний с повторениями. Нам нужно выбрать k=3 измерения из n=8 возможных вариантов, причем размеры могут повторяться, а порядок не важен. Формула имеет вид:
$\bar{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}$
Подставляем наши значения:
$\bar{C}_8^3 = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 120

470. Вычислить:

1) $ \frac{5! - 4!}{2!} $

2) $ \frac{7! - 6!}{5!} $

3) $ \frac{54!}{53!} + \frac{70!}{69!} $

4) $ \frac{60!}{58!} - \frac{50!}{48!} $

1) Для вычисления выражения $\frac{5! - 4!}{2!}$ воспользуемся определением факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$.

Сначала упростим числитель. Вынесем за скобки общий множитель $4!$:

$5! - 4! = (5 \times 4!) - 4! = 4! \times (5 - 1) = 4! \times 4$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{4! \times 4}{2!} = \frac{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 4}{2 \times 1} = \frac{24 \times 4}{2} = \frac{96}{2} = 48$.

Ответ: 48

2) Для вычисления выражения $\frac{7! - 6!}{5!}$ можно разделить дробь на разность двух дробей:

$\frac{7! - 6!}{5!} = \frac{7!}{5!} - \frac{6!}{5!}$.

Теперь упростим каждую дробь, используя свойство $n! = n \times (n-1)!$:

$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42$.

$\frac{6!}{5!} = \frac{6 \times 5!}{5!} = 6$.

Выполним вычитание:

$42 - 6 = 36$.

Ответ: 36

3) Для вычисления выражения $\frac{54!}{53!} + \frac{70!}{69!}$ упростим каждую дробь по отдельности.

Используем свойство $\frac{n!}{(n-1)!} = n$.

Для первой дроби:

$\frac{54!}{53!} = \frac{54 \times 53!}{53!} = 54$.

Для второй дроби:

$\frac{70!}{69!} = \frac{70 \times 69!}{69!} = 70$.

Теперь сложим полученные результаты:

$54 + 70 = 124$.

Ответ: 124

4) Для вычисления выражения $\frac{60!}{58!} - \frac{50!}{48!}$ упростим каждую дробь.

Используем свойство $\frac{n!}{(n-2)!} = n \times (n-1)$.

Для первой дроби:

$\frac{60!}{58!} = \frac{60 \times 59 \times 58!}{58!} = 60 \times 59 = 3540$.

Для второй дроби:

$\frac{50!}{48!} = \frac{50 \times 49 \times 48!}{48!} = 50 \times 49 = 2450$.

Теперь выполним вычитание:

$3540 - 2450 = 1090$.

Ответ: 1090

471. Упростить:

1) $\frac{(n+2)!}{n!}$;

2) $(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!})n!.

1) Чтобы упростить дробь $\frac{(n+2)!}{n!}$, воспользуемся определением факториала. Факториал числа $k$ есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$ включительно: $k! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k$.
Исходя из этого, мы можем расписать $(n+2)!$ следующим образом:
$(n+2)! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$.
Заметим, что произведение от 1 до $n$ равно $n!$. Поэтому $(n+2)!$ можно представить в виде:
$(n+2)! = n! \cdot (n+1) \cdot (n+2)$.
Теперь подставим это представление в исходное выражение:
$\frac{(n+2)!}{n!} = \frac{n! \cdot (n+1)(n+2)}{n!}$.
Сокращаем общий множитель $n!$ в числителе и знаменателе:
$(n+1)(n+2)$.
Раскрыв скобки, можно также получить эквивалентное выражение: $n^2 + 3n + 2$.
Ответ: $(n+1)(n+2)$.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!})n!$.
Для его упрощения раскроем скобки, умножив $n!$ на каждый член разности:
$(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}) \cdot n! = \frac{1}{n!} \cdot n! - \frac{1}{(n+1)!} \cdot n! = \frac{n!}{n!} - \frac{n!}{(n+1)!}$.
Теперь упростим получившиеся дроби.
Первая дробь: $\frac{n!}{n!} = 1$.
Для второй дроби воспользуемся свойством факториала: $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$.
$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{n!}{n! \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1}$.
Подставим упрощенные значения обратно в выражение:
$1 - \frac{1}{n+1}$.
Чтобы получить окончательный ответ в виде одной дроби, приведем к общему знаменателю $(n+1)$:
$1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.
Ответ: $\frac{n}{n+1}$.

472. Найти значение выражения:

1) $ \frac{A_6^3}{P_4} + \frac{A_{11}^6}{11P_6} $

2) $ \left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{7}\right) \frac{P_5}{A_6^4} $

Найдем значение выражения $\frac{A_6^3}{P_4} + \frac{A_{11}^6}{11P_6}$.
Для этого воспользуемся формулами для числа размещений из $n$ по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, и числа перестановок $n$ элементов: $P_n = n!$.
Вычислим каждое слагаемое по отдельности.
Найдем значение первого слагаемого $\frac{A_6^3}{P_4}$:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
$\frac{A_6^3}{P_4} = \frac{120}{24} = 5$.
Найдем значение второго слагаемого $\frac{A_{11}^6}{11P_6}$:
$A_{11}^6 = \frac{11!}{(11-6)!} = \frac{11!}{5!}$.
$P_6 = 6!$.
$\frac{A_{11}^6}{11P_6} = \frac{\frac{11!}{5!}}{11 \cdot 6!} = \frac{11!}{5! \cdot 11 \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10!}{11 \cdot 5! \cdot 6!} = \frac{10!}{5!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{ (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{120} = \frac{5040}{120} = 42$.
Теперь сложим полученные значения:
$5 + 42 = 47$.

Ответ: 47

Найдем значение выражения $\left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{7}\right) \frac{P_5}{A_6^4}$.
Для этого воспользуемся формулами для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Сначала вычислим значение выражения в скобках: $\left(\frac{C_{11}^7}{10} - \frac{C_7^2}{7}\right)$.
Вычислим $C_{11}^7$. Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{11}^7 = C_{11}^{11-7} = C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$.
Тогда первая часть в скобках равна $\frac{C_{11}^7}{10} = \frac{330}{10} = 33$.
Вычислим $C_7^2$:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$.
Тогда вторая часть в скобках равна $\frac{C_7^2}{7} = \frac{21}{7} = 3$.
Значение выражения в скобках: $33 - 3 = 30$.
Теперь вычислим второй множитель: $\frac{P_5}{A_6^4}$.
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
$\frac{P_5}{A_6^4} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}$.
Наконец, перемножим полученные результаты:
$30 \cdot \frac{1}{3} = 10$.

Ответ: 10

473. Решить относительно n уравнение:

1) $ \frac{P_{n+2}}{P_n} = 12 $;

2) $ \frac{1}{P_{n-4}} = \frac{20}{P_{n-2}} $;

3) $ A_{n+1}^4 = 6n(n+1) $;

4) $ A_{n-1}^5 = 2A_{n-2}^5 $;

5) $ \frac{C_{n+1}^3}{C_n^4} = \frac{8}{5} $;

6) $ C_n^3 = 4C_{n-2}^2 $.

1) Исходное уравнение: $ \frac{P_{n+2}}{P_n} = 12 $.
Используем формулу числа перестановок $ P_k = k! $.
Область допустимых значений (ОДЗ) для $ n $ определяется условиями $ n+2 \ge 0 $ и $ n \ge 0 $. Так как $ n $ должно быть целым неотрицательным числом, ОДЗ: $ n \in \{0, 1, 2, ...\} $.
Подставляем формулу в уравнение:
$ \frac{(n+2)!}{n!} = 12 $
Распишем факториал в числителе: $ (n+2)! = (n+2)(n+1)n! $.
$ \frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 12 $
Сокращаем $ n! $ (так как $ n! \ne 0 $):
$ (n+2)(n+1) = 12 $
Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение:
$ n^2 + n + 2n + 2 = 12 $
$ n^2 + 3n - 10 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 2 $ и $ n_2 = -5 $.
Корень $ n_2 = -5 $ не входит в ОДЗ. Следовательно, решением является $ n=2 $.
Ответ: $ n=2 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{P_{n-4}} = \frac{20}{P_{n-2}} $.
Используем формулу $ P_k = k! $.
ОДЗ: $ n-4 \ge 0 \Rightarrow n \ge 4 $ и $ n-2 \ge 0 \Rightarrow n \ge 2 $. Объединяя условия, получаем $ n \ge 4 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Преобразуем уравнение:
$ P_{n-2} = 20 \cdot P_{n-4} $
$ (n-2)! = 20 \cdot (n-4)! $
Распишем $ (n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)! $.
$ (n-2)(n-3)(n-4)! = 20 \cdot (n-4)! $
Сокращаем $ (n-4)! $ (так как по ОДЗ $ n \ge 4 $, то $ (n-4)! \ne 0 $):
$ (n-2)(n-3) = 20 $
$ n^2 - 3n - 2n + 6 = 20 $
$ n^2 - 5n - 14 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 7 $ и $ n_2 = -2 $.
Корень $ n_2 = -2 $ не входит в ОДЗ ($ n \ge 4 $). Следовательно, решением является $ n=7 $.
Ответ: $ n=7 $.

3) Исходное уравнение: $ A_{n+1}^4 = 6n(n+1) $.
Используем формулу числа размещений $ A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n+1 \ge 4 \Rightarrow n \ge 3 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулу в уравнение:
$ \frac{(n+1)!}{(n+1-4)!} = 6n(n+1) $
$ \frac{(n+1)!}{(n-3)!} = 6n(n+1) $
Распишем факториал в числителе: $ (n+1)! = (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)! $.
$ \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!} = 6n(n+1) $
$ (n+1)n(n-1)(n-2) = 6n(n+1) $
По ОДЗ $ n \ge 3 $, значит $ n > 0 $ и $ n+1 > 0 $. Можем разделить обе части на $ n(n+1) $:
$ (n-1)(n-2) = 6 $
$ n^2 - 2n - n + 2 = 6 $
$ n^2 - 3n - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 4 $ и $ n_2 = -1 $.
Корень $ n_2 = -1 $ не входит в ОДЗ ($ n \ge 3 $). Следовательно, решением является $ n=4 $.
Ответ: $ n=4 $.

4) Исходное уравнение: $ A_{n-1}^5 = 2A_{n-2}^5 $.
Используем формулу $ A_m^k = \frac{m!}{(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n-1 \ge 5 \Rightarrow n \ge 6 $ и $ n-2 \ge 5 \Rightarrow n \ge 7 $. Объединяя, получаем $ n \ge 7 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулы в уравнение:
$ \frac{(n-1)!}{(n-1-5)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-2-5)!} $
$ \frac{(n-1)!}{(n-6)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-7)!} $
Распишем факториалы: $ (n-1)! = (n-1)(n-2)! $ и $ (n-6)! = (n-6)(n-7)! $.
$ \frac{(n-1)(n-2)!}{(n-6)(n-7)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-7)!} $
Сокращаем $ (n-2)! $ и $ (n-7)! $ (по ОДЗ они не равны нулю):
$ \frac{n-1}{n-6} = 2 $
$ n-1 = 2(n-6) $
$ n-1 = 2n - 12 $
$ n = 11 $
Корень $ n=11 $ удовлетворяет ОДЗ ($ n \ge 7 $).
Ответ: $ n=11 $.

5) Исходное уравнение: $ \frac{C_{n+1}^3}{C_n^4} = \frac{8}{5} $.
Используем формулу числа сочетаний $ C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n+1 \ge 3 \Rightarrow n \ge 2 $ и $ n \ge 4 $. Объединяя, получаем $ n \ge 4 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулы в уравнение:
$ \frac{\frac{(n+1)!}{3!(n+1-3)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{8}{5} $
$ \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} \cdot \frac{4!(n-4)!}{n!} = \frac{8}{5} $
Распишем факториалы: $ (n+1)! = (n+1)n! $, $ 4! = 4 \cdot 3! $, $ (n-2)! = (n-2)(n-3)(n-4)! $.
$ \frac{(n+1)n! \cdot 4 \cdot 3! \cdot (n-4)!}{3! \cdot (n-2)(n-3)(n-4)! \cdot n!} = \frac{8}{5} $
Сокращаем одинаковые множители:
$ \frac{4(n+1)}{(n-2)(n-3)} = \frac{8}{5} $
$ 5 \cdot 4(n+1) = 8(n-2)(n-3) $
$ 20(n+1) = 8(n^2 - 5n + 6) $
Делим обе части на 4:
$ 5(n+1) = 2(n^2 - 5n + 6) $
$ 5n + 5 = 2n^2 - 10n + 12 $
$ 2n^2 - 15n + 7 = 0 $
Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(2)(7) = 225 - 56 = 169 = 13^2 $.
$ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 13}{4} $
$ n_1 = \frac{15+13}{4} = \frac{28}{4} = 7 $
$ n_2 = \frac{15-13}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $
Корень $ n_2 = 0.5 $ не является целым числом. Корень $ n_1 = 7 $ удовлетворяет ОДЗ ($ n \ge 4 $).
Ответ: $ n=7 $.

6) Исходное уравнение: $ C_n^3 = 4C_{n-2}^2 $.
Используем формулу $ C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!} $.
ОДЗ: $ n \ge 3 $ и $ n-2 \ge 2 \Rightarrow n \ge 4 $. Объединяя, получаем $ n \ge 4 $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставляем формулы в уравнение:
$ \frac{n!}{3!(n-3)!} = 4 \cdot \frac{(n-2)!}{2!(n-2-2)!} $
$ \frac{n!}{6(n-3)!} = 4 \cdot \frac{(n-2)!}{2(n-4)!} $
$ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = 2 \cdot \frac{(n-2)(n-3)(n-4)!}{(n-4)!} $
Сокращаем факториалы:
$ \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 2(n-2)(n-3) $
По ОДЗ $ n \ge 4 $, значит $ n-2 \ne 0 $. Можем разделить обе части на $ (n-2) $:
$ \frac{n(n-1)}{6} = 2(n-3) $
$ n(n-1) = 12(n-3) $
$ n^2 - n = 12n - 36 $
$ n^2 - 13n + 36 = 0 $
По теореме Виета, корни уравнения: $ n_1 = 4 $ и $ n_2 = 9 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ n \ge 4 $).
Ответ: $ n=4, n=9 $.

474. Сколькими способами можно составить график очередности ухода в отпуск восьми сотрудников лаборатории?

Данная задача заключается в определении количества способов упорядочить 8 различных объектов (сотрудников). Каждому сотруднику присваивается уникальный порядковый номер в графике отпусков (с 1-го по 8-й). Это классическая задача на перестановки.

Число способов, которыми можно упорядочить $n$ различных элементов, называется числом перестановок и вычисляется по формуле: $P_n = n!$ где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

В нашем случае количество сотрудников $n = 8$. Следовательно, нам нужно вычислить $8!$: $P_8 = 8! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8$

Проведем вычисления: $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 56 \times 6 \times 20 \times 6 = 336 \times 120 = 40320$

Таким образом, существует 40 320 способов составить график очередности ухода в отпуск для восьми сотрудников.

Ответ: 40320

475. Сколько существует способов делегирования на конференцию двоих человек из восьми сотрудников лаборатории?

Для решения этой задачи нужно использовать формулы комбинаторики. Поскольку порядок выбора двух сотрудников для делегирования на конференцию не имеет значения (делегация из Иванова и Петрова — это то же самое, что и делегация из Петрова и Иванова), нам необходимо найти число сочетаний.

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 8 элементов по 2. Формула для числа сочетаний из n по k выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех целых чисел от 1 до n.

В данном случае:
• Общее число сотрудников, из которых производится выбор, n = 8.
• Количество сотрудников, которых нужно выбрать, k = 2.

Подставим эти значения в формулу и произведем расчет:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!}$

Чтобы упростить вычисление, распишем факториалы и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$C_8^2 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$
Сократив $6!$ в числителе и знаменателе, получим:
$C_8^2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$

Таким образом, существует 28 способов выбрать двух делегатов из восьми сотрудников.

Ответ: 28

476. Восемь сотрудников лаборатории участвовали в научном конкурсе, по результатам которого были присуждены одна первая и одна вторая премии. Сколькими способами могли быть присуждены рассматриваемые премии?

В этой задаче требуется найти количество способов, которыми можно присудить две различные награды (первую и вторую премию) восьми участникам. Поскольку премии не равнозначны (первая премия отличается от второй), порядок выбора победителей имеет значение. Это означает, что мы имеем дело с размещениями.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы размещений

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (где важен порядок и элементы не повторяются) вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$В нашем случае:

• $n = 8$ (общее число сотрудников)
• $k = 2$ (количество премий)

Подставим эти значения в формулу:$A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!}$

Распишем факториалы и произведем сокращение:$A_8^2 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

Способ 2: Использование правила произведения (логические рассуждения)

1. Выбор обладателя первой премии. Первую премию может получить любой из 8 сотрудников. Таким образом, существует 8 вариантов.

2. Выбор обладателя второй премии. После того как первая премия присуждена одному сотруднику, на вторую премию остаются претендовать 7 человек. Следовательно, для второй премии существует 7 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого шага:Число способов = (варианты для первой премии) × (варианты для второй премии) = $8 \times 7 = 56$.

Оба способа дают одинаковый результат. Следовательно, существует 56 способов присудить премии.

Ответ: 56

477. Сколькими разными способами можно рассадить троих учащихся, пришедших на факультативные занятия, на сорока имеющихся в классе стульях?

477.

Данная задача является классической задачей по комбинаторике на нахождение числа размещений. Нам необходимо определить, сколькими способами можно выбрать и разместить 3-х учащихся на 40 стульях. Поскольку все учащиеся различны и все стулья также различны (можно их пронумеровать), то порядок рассадки имеет значение. Например, если ученик А сидит на стуле 1, а ученик Б на стуле 2, то это не то же самое, что ученик Б на стуле 1, а ученик А на стуле 2.

Для решения задачи можно использовать правило произведения. Рассуждаем последовательно:
1. Первого учащегося можно посадить на любой из 40 стульев. Таким образом, для него есть 40 вариантов.
2. После того как первый учащийся занял свое место, для второго остается $40 - 1 = 39$ свободных стульев. То есть, у второго учащегося есть 39 вариантов.
3. После того как первые двое сели, для третьего учащегося остается $39 - 1 = 38$ свободных стульев. У него 38 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить число вариантов для каждого учащегося:
$N = 40 \times 39 \times 38$

Выполним вычисления:
$40 \times 39 = 1560$
$1560 \times 38 = 59280$

Также эту задачу можно решить с помощью формулы для числа размещений без повторений из n элементов по k, которая имеет вид:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
где n — общее количество элементов (стульев), а k — количество выбираемых элементов (учащихся).

В нашем случае $n = 40$ и $k = 3$. Подставим эти значения в формулу:
$A_{40}^3 = \frac{40!}{(40-3)!} = \frac{40!}{37!} = \frac{40 \times 39 \times 38 \times 37!}{37!} = 40 \times 39 \times 38 = 59280$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 59280.

478. Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте 80 солдат и 5 офицеров?

Для решения этой задачи нужно использовать комбинаторику. Процесс формирования патруля можно разделить на два независимых этапа: выбор солдат и выбор офицера. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого этапа.

Этап 1: Выбор двух солдат из 80.

Поскольку порядок выбора солдат не имеет значения (патруль из солдата A и солдата B — это то же самое, что и патруль из солдата B и солдата A), мы используем формулу для числа сочетаний без повторений: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае $n = 80$ и $k = 2$.

Число способов выбрать двух солдат: $C_{80}^2 = \frac{80!}{2!(80-2)!} = \frac{80!}{2! \cdot 78!} = \frac{79 \cdot 80}{2 \cdot 1} = 79 \cdot 40 = 3160$.

Этап 2: Выбор одного офицера из 5.

Аналогично, для выбора одного офицера из пяти мы используем ту же формулу сочетаний. Здесь $n = 5$ и $k = 1$.

Число способов выбрать одного офицера: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5}{1} = 5$.

Этап 3: Расчет общего числа способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов сформировать патруль равно произведению числа способов выбора солдат и числа способов выбора офицера.

Общее число способов = (Число способов выбрать солдат) $\times$ (Число способов выбрать офицера) = $C_{80}^2 \cdot C_5^1$.

Общее число способов = $3160 \cdot 5 = 15800$.

Ответ: 15800

479. Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник? семиугольник? $n$-угольник?

выпуклый пятиугольник
Диагональ многоугольника — это отрезок, который соединяет две его несоседние вершины. У выпуклого пятиугольника 5 вершин. Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних с ней. Таким образом, из одной вершины пятиугольника можно провести $5 - 3 = 2$ диагонали.
Так как у пятиугольника 5 вершин, можно было бы предположить, что общее число диагоналей равно $5 \times 2 = 10$. Однако, при таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и из вершины C в вершину A — это одна и та же диагональ). Следовательно, полученное число необходимо разделить на 2.
Число диагоналей равно $\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: 5.

семиугольник
Применим тот же самый подход для семиугольника. У семиугольника 7 вершин. Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем другим вершинам, кроме самой себя и двух соседних. Значит, из каждой вершины можно провести $7 - 3 = 4$ диагонали.
Поскольку вершин всего 7, умножим количество диагоналей из одной вершины на общее число вершин: $7 \times 4 = 28$.
Как и в предыдущем случае, каждая диагональ была посчитана дважды, поэтому результат нужно разделить на 2: $\frac{28}{2} = 14$.
Число диагоналей равно $\frac{7 \cdot (7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.
Ответ: 14.

n-угольник
Обобщим рассуждения для произвольного выпуклого $n$-угольника. Такой многоугольник имеет $n$ вершин.
1. Из каждой отдельной вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних. Следовательно, из одной вершины можно провести $n - 3$ диагонали.
2. Поскольку всего в многоугольнике $n$ вершин, то общее число таких отрезков, проведенных из каждой вершины, будет равно $n \cdot (n-3)$.
3. В этом произведении каждая диагональ учтена ровно два раза (например, диагональ AB и диагональ BA). Поэтому, чтобы найти истинное число уникальных диагоналей, необходимо разделить полученный результат на 2.
Таким образом, формула для вычисления числа диагоналей $N$ выпуклого $n$-угольника имеет вид:
$N = \frac{n(n-3)}{2}$.
Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.

480. Найти значение выражения, предварительно упростив его:

1) $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$;

2) $C_{14}^{3} + C_{14}^{2}$.

Для упрощения и вычисления значений данных выражений используется свойство биномиальных коэффициентов, известное как тождество Паскаля: $C_{n}^{k} + C_{n}^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$.

1) $C_{13}^{10} + C_{13}^{11}$

В данном выражении $n=13$ и $k=10$. Применяя тождество Паскаля, получаем:

$C_{13}^{10} + C_{13}^{11} = C_{13+1}^{10+1} = C_{14}^{11}$

Для удобства вычисления воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n-k}$.

$C_{14}^{11} = C_{14}^{14-11} = C_{14}^{3}$

Теперь вычислим значение, используя формулу для числа сочетаний $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{14}^{3} = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 13 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 13 \cdot 14 = 364$.

Ответ: 364

2) $C_{14}^{3} + C_{14}^{2}$

Чтобы применить тождество Паскаля, представим выражение в виде $C_{14}^{2} + C_{14}^{3}$. Здесь $n=14$ и $k=2$.

$C_{14}^{2} + C_{14}^{3} = C_{14+1}^{2+1} = C_{15}^{3}$

Вычислим полученное значение:

$C_{15}^{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3! \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \cdot 7 \cdot 5 = 455$.

Ответ: 455