Страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

466. Вычислить:

1) $\overline{C}_4^6$;

2) $\overline{C}_6^4$;

3) $\overline{C}_9^2$;

4) $\overline{C}_2^9$.

Данные выражения представляют собой число сочетаний с повторениями. Формула для их вычисления:

$\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

где $n$ — количество типов элементов, из которых делается выбор, а $k$ — количество элементов в каждой выборке.

1)

Необходимо вычислить $\bar{C}_4^6$.

В этом случае $n=4$, $k=6$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_4^6 = C_{4+6-1}^6 = C_9^6$

Для упрощения расчетов используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_9^6 = C_9^{9-6} = C_9^3$

Вычисляем значение:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3! \cdot 6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$

Ответ: 84

2)

Необходимо вычислить $\bar{C}_6^4$.

Здесь $n=6$, $k=4$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_6^4 = C_{6+4-1}^4 = C_9^4$

Вычисляем значение:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$

Ответ: 126

3)

Необходимо вычислить $\bar{C}_9^2$.

Здесь $n=9$, $k=2$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_9^2 = C_{9+2-1}^2 = C_{10}^2$

Вычисляем значение:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 9 = 45$

Ответ: 45

4)

Необходимо вычислить $\bar{C}_2^9$.

Здесь $n=2$, $k=9$.

Подставляем значения в формулу:

$\bar{C}_2^9 = C_{2+9-1}^9 = C_{10}^9$

Используем свойство сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1$

Вычисляем значение:

$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1 \cdot 9!} = 10$

Ответ: 10

467. В кафе подавали мороженое четырёх видов. Сколькими способами трое друзей могут сделать заказ официанту на 3 порции мороженого?

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам необходимо определить общее количество способов, которыми трое друзей могут сделать заказ, выбирая из четырех видов мороженого.

Поскольку в заказе участвуют трое разных друзей, мы должны считать их различимыми. Это означает, что заказ, где первый друг выбрал ванильное мороженое, а второй — шоколадное, будет отличаться от заказа, где первый выбрал шоколадное, а второй — ванильное. Таким образом, важен не только набор видов мороженого, но и то, какой друг какой вид выбрал. Кроме того, разные друзья могут выбрать один и тот же вид мороженого, поэтому повторения разрешены.

Такая задача решается с помощью правила умножения. Рассуждаем следующим образом:
- У первого друга есть 4 варианта выбора мороженого.
- У второго друга также есть 4 варианта выбора, так как его выбор не зависит от выбора первого.
- У третьего друга тоже 4 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого друга: $$ 4 \times 4 \times 4 = 64 $$

Этот подход в комбинаторике называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашей задаче $n = 4$ (количество видов мороженого) и $k = 3$ (количество друзей).

Подставив значения в формулу, получаем: $$ \bar{A}_4^3 = 4^3 = 64 $$

Следовательно, существует 64 различных способа для троих друзей сделать заказ.

Ответ: 64.