Страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

435. Вычислить:

1) $A_3^1$; 2) $A_3^2$; 3) $A_7^2$; 4) $A_7^7$;

5) $A_8^3$; 6) $A_8^4$; 7) $A_{10}^2$; 8) $A_{10}^4$.

Для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$, обозначаемого как $A_n^k$, используется следующая формула:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. На практике удобнее использовать эквивалентную формулу:

$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Это означает, что для вычисления $A_n^k$ нужно перемножить $k$ последовательных целых чисел, начиная с $n$ и двигаясь в сторону уменьшения.

1) $A_3^1$

Для вычисления $A_3^1$ мы имеем $n=3$ и $k=1$. Это означает, что нам нужно взять первый и единственный множитель, равный 3.
$A_3^1 = 3$
Ответ: 3

2) $A_3^2$

Для вычисления $A_3^2$ мы имеем $n=3$ и $k=2$. Нам нужно перемножить два последовательных числа, начиная с 3.
$A_3^2 = 3 \cdot 2 = 6$
Ответ: 6

3) $A_7^2$

Для вычисления $A_7^2$ мы имеем $n=7$ и $k=2$. Нам нужно перемножить два последовательных числа, начиная с 7.
$A_7^2 = 7 \cdot 6 = 42$
Ответ: 42

4) $A_7^7$

Для вычисления $A_7^7$ мы имеем $n=7$ и $k=7$. Это число перестановок из 7 элементов, которое равно $7!$.
$A_7^7 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$
Ответ: 5040

5) $A_8^3$

Для вычисления $A_8^3$ мы имеем $n=8$ и $k=3$. Нам нужно перемножить три последовательных числа, начиная с 8.
$A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 56 \cdot 6 = 336$
Ответ: 336

6) $A_8^4$

Для вычисления $A_8^4$ мы имеем $n=8$ и $k=4$. Нам нужно перемножить четыре последовательных числа, начиная с 8.
$A_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 56 \cdot 30 = 1680$
Ответ: 1680

7) $A_{10}^2$

Для вычисления $A_{10}^2$ мы имеем $n=10$ и $k=2$. Нам нужно перемножить два последовательных числа, начиная с 10.
$A_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90$
Ответ: 90

8) $A_{10}^4$

Для вычисления $A_{10}^4$ мы имеем $n=10$ и $k=4$. Нам нужно перемножить четыре последовательных числа, начиная с 10.
$A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 90 \cdot 56 = 5040$
Ответ: 5040

436. В классе изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 6 разных предметов?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 6 предметов из 9 и расположить их в определенном порядке. Поскольку порядок предметов в расписании важен (например, математика на первом уроке и физика на втором — это не то же самое, что наоборот), мы должны использовать формулу для числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (обозначается $A_n^k$) — это количество способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ элементов. Формула для вычисления:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество предметов $n = 9$, а количество уроков в расписании на понедельник $k = 6$. Подставим эти значения в формулу:
$A_9^6 = \frac{9!}{(9-6)!} = \frac{9!}{3!}$

Можно также рассуждать поэтапно:
- Для первого урока есть 9 вариантов выбора предмета.
- Для второго урока остается 8 предметов, так как предметы должны быть разными.
- Для третьего — 7 вариантов.
- Для четвертого — 6 вариантов.
- Для пятого — 5 вариантов.
- Для шестого — 4 варианта.
Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого урока:
$A_9^6 = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4$

Теперь выполним вычисления: $9 \times 8 = 72$; $72 \times 7 = 504$; $504 \times 6 = 3024$; $3024 \times 5 = 15120$; $15120 \times 4 = 60480$.

Таким образом, существует 60 480 способов составить расписание на понедельник из 6 разных предметов, выбирая из 9.

Ответ: 60480

437. Сколько существует способов для обозначения вершин данного четырёхугольника с помощью букв $A, B, C, D, E, F$?

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. У нас есть четырёхугольник, который имеет 4 вершины, и нам нужно обозначить их, используя 4 различные буквы из предложенного набора из 6 букв: {A, B, C, D, E, F}.

Поскольку порядок, в котором мы присваиваем буквы вершинам, имеет значение (например, четырёхугольник, обозначенный как ABCD, отличается от четырёхугольника ABDC), задача сводится к нахождению числа размещений без повторений.

Рассмотрим процесс выбора букв для каждой вершины последовательно:

• Для обозначения первой вершины мы можем выбрать любую из 6 доступных букв.
• После выбора буквы для первой вершины, для второй остаётся 5 неиспользованных букв.
• Для третьей вершины остаётся 4 варианта.
• И, наконец, для четвёртой вершины остаётся 3 варианта.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить число вариантов для каждой вершины:

$N = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

Этот же результат можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$, которая обозначается как $A_n^k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество элементов (букв) $n=6$, а количество позиций для размещения (вершин) $k=4$. Подставляем эти значения в формулу:

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$

Таким образом, существует 360 различных способов для обозначения вершин данного четырёхугольника.

Ответ: 360.

438. В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из их состава староста и казначей?

В данной задаче нам нужно выбрать двух человек из 30 на две разные должности: старосту и казначея. Поскольку должности не равнозначны, порядок выбора имеет значение. Например, ситуация, когда ученик А — староста, а ученик Б — казначей, отличается от ситуации, когда ученик Б — староста, а ученик А — казначей. Следовательно, мы имеем дело с размещениями.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование правила произведения

Сначала выберем старосту. На эту должность может быть выбран любой из 30 учеников, поэтому у нас есть 30 вариантов выбора.

После того, как староста выбран, остается 29 учеников. На должность казначея можно выбрать любого из оставшихся 29 человек. Это дает нам 29 вариантов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов сделать оба выбора равно произведению количества способов для каждого выбора:
$30 \times 29 = 870$

Способ 2: Использование формулы размещений

Число способов выбрать и разместить $k$ объектов из множества, содержащего $n$ различных объектов, называется числом размещений из $n$ по $k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество учеников $n=30$, а количество должностей $k=2$. Подставляем значения в формулу:
$A_{30}^2 = \frac{30!}{(30-2)!} = \frac{30!}{28!} = \frac{30 \times 29 \times 28!}{28!} = 30 \times 29 = 870$

Оба метода дают одинаковый результат. Таким образом, существует 870 способов выбрать старосту и казначея.

Ответ: 870

439. В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

В данной задаче нам необходимо найти количество различных способов, которыми 10 команд могут занять первые три призовых места. Поскольку порядок команд на этих местах важен (например, ситуация, когда команда X занимает первое место, а команда Y — второе, отличается от ситуации, когда команда Y на первом месте, а команда X на втором), мы должны использовать комбинаторную формулу для размещений.

1-й способ (логическое рассуждение):

Мы можем рассуждать последовательно, определяя количество вариантов для каждого места:

• На первое место может претендовать любая из 10 команд, то есть существует 10 вариантов.
• После того как одна команда заняла первое место, на второе место могут претендовать оставшиеся 9 команд. Таким образом, для второго места есть 9 вариантов.
• Когда первые два места распределены, на третье место остается 8 команд-претендентов, то есть 8 вариантов.

Чтобы найти общее число различных возможностей, мы используем правило умножения в комбинаторике, перемножая число вариантов для каждого призового места:
$10 \times 9 \times 8 = 720$

2-й способ (использование формулы):

Задачи, в которых важен порядок следования элементов, решаются с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество команд)
• $k = 3$ (количество призовых мест)

Подставляем эти значения в формулу:
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$

Распишем факториал в числителе и сократим дробь:
$A_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 720.

440. Найти значение выражения:

1) $\frac{A_{11}^3 - A_{10}^2}{A_9^1};$

2) $\frac{A_{12}^4 \cdot A_7^7}{A_{11}^9}.$

Для решения задачи используется формула для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$ элементов: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$.

1) $\frac{A_{11}^{3} - A_{10}^{2}}{A_{9}^{1}}$

Сначала вычислим каждое значение размещения отдельно:
$A_{11}^{3} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$
$A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90$
$A_{9}^{1} = 9$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{A_{11}^{3} - A_{10}^{2}}{A_{9}^{1}} = \frac{990 - 90}{9} = \frac{900}{9} = 100$

Ответ: 100

2) $\frac{A_{12}^{4} \cdot A_{7}^{7}}{A_{11}^{9}}$

Запишем выражение, используя формулу для размещений через факториалы:
$A_{12}^{4} = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$
$A_{7}^{7} = \frac{7!}{(7-7)!} = \frac{7!}{0!} = 7!$ (по определению $0! = 1$)
$A_{11}^{9} = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$

Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{A_{12}^{4} \cdot A_{7}^{7}}{A_{11}^{9}} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$

Теперь сократим факториалы. Для этого представим $12!$ как $12 \cdot 11!$ и $8!$ как $8 \cdot 7!$:
$\frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!}$

Сокращаем одинаковые множители ($11!$ и $7!$) в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot (2 \cdot 1)}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: 3

441. Решить относительно m уравнение:

1) $A_m^2 = 90$;

2) $A_m^3 = 56m$;

3) $A_{m+1}^2 = 156$;

4) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$.

Для решения данных уравнений воспользуемся формулой числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ): $n$ и $k$ должны быть натуральными числами, и $n \ge k$.

1) $A_m^2 = 90$

ОДЗ для этого уравнения: $m$ — натуральное число и $m \ge 2$.

Используя формулу для размещений, получаем:

$A_m^2 = m(m-1)$

Подставим это в исходное уравнение:

$m(m-1) = 90$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$m^2 - m - 90 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -90. Корни уравнения: $m_1 = 10$ и $m_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -9$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит. Корень $m_1 = 10$ удовлетворяет условию $m \ge 2$.

Ответ: $m = 10$.

2) $A_m^3 = 56m$

ОДЗ: $m$ — натуральное число и $m \ge 3$.

Запишем выражение для $A_m^3$:

$A_m^3 = m(m-1)(m-2)$

Подставим в уравнение:

$m(m-1)(m-2) = 56m$

Так как согласно ОДЗ $m \ge 3$, то $m \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $m$:

$(m-1)(m-2) = 56$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$m^2 - 3m + 2 = 56$

$m^2 - 3m - 54 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение -54. Корни уравнения: $m_1 = 9$ и $m_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -6$ не является натуральным числом. Корень $m_1 = 9$ удовлетворяет условию $m \ge 3$.

Ответ: $m = 9$.

3) $A_{m+1}^2 = 156$

ОДЗ: $m+1$ — натуральное число и $m+1 \ge 2$, что эквивалентно условию: $m$ — натуральное число и $m \ge 1$.

Запишем выражение для $A_{m+1}^2$:

$A_{m+1}^2 = (m+1)((m+1)-1) = (m+1)m$

Подставим в уравнение:

$m(m+1) = 156$

Решим квадратное уравнение:

$m^2 + m - 156 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.

Корни уравнения: $m_1 = \frac{-1 + 25}{2} = 12$ и $m_2 = \frac{-1 - 25}{2} = -13$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -13$ не удовлетворяет условию $m \ge 1$. Корень $m_1 = 12$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $m = 12$.

4) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$

Найдем ОДЗ. Для $A_m^5$ требуется $m \ge 5$. Для $A_{m-2}^4$ требуется $m-2 \ge 4$, то есть $m \ge 6$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $m$ — натуральное число и $m \ge 6$.

Запишем выражения для размещений:

$A_m^5 = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$

$A_{m-2}^4 = (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4) = 18 \cdot (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$

Из ОДЗ ($m \ge 6$) следует, что множители $(m-2)$, $(m-3)$, $(m-4)$ не равны нулю. Разделим обе части уравнения на произведение $(m-2)(m-3)(m-4)$:

$m(m-1) = 18(m-5)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$m^2 - m = 18m - 90$

$m^2 - 19m + 90 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 19, а произведение 90. Корни уравнения: $m_1 = 9$ и $m_2 = 10$.

Оба корня $m_1 = 9$ и $m_2 = 10$ удовлетворяют ОДЗ ($m \ge 6$).

Ответ: $m = 9, m = 10$.

442. Найти значение выражения $ \frac{A_{10}^n \cdot P_{11-n}}{P_9} $, где $n \le 10$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы для числа размещений и числа перестановок из комбинаторики.

Число размещений из $k$ элементов по $m$ элементам, обозначаемое $A_k^m$, вычисляется по формуле $A_k^m = \frac{k!}{(k-m)!}$.
Число перестановок из $k$ элементов, обозначаемое $P_k$, равно факториалу числа $k$, то есть $P_k = k!$.

Подставим эти определения в исходное выражение $\frac{A_{10}^n \cdot P_{11-n}}{P_9}$:
$A_{10}^n = \frac{10!}{(10-n)!}$
$P_{11-n} = (11-n)!$
$P_9 = 9!$

Подстановка дает следующее выражение:$$ \frac{\frac{10!}{(10-n)!} \cdot (11-n)!}{9!} $$

Для упрощения перепишем выражение в виде одной дроби:$$ \frac{10! \cdot (11-n)!}{9! \cdot (10-n)!} $$

Теперь сгруппируем множители с похожими факториалами и упростим их, используя свойство $k! = k \cdot (k-1)!$:$$ \left(\frac{10!}{9!}\right) \cdot \left(\frac{(11-n)!}{(10-n)!}\right) $$

Упростим каждую часть по отдельности:
$\frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$
$\frac{(11-n)!}{(10-n)!} = \frac{(11-n) \cdot (10-n)!}{(10-n)!} = 11-n$

Перемножим полученные результаты:$$ 10 \cdot (11-n) $$

Условие $n \le 10$ (а также то, что $n$ — целое неотрицательное число) необходимо для корректного определения комбинаторных формул, так как количество выбираемых элементов не может превышать общее количество, а аргументы факториалов должны быть неотрицательными.

Ответ: $10(11-n)$

443. В шахматном турнире участвуют пять юношей и три девушки. Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники набрали разные количества очков?

В шахматном турнире участвуют 5 юношей и 3 девушки. Всего 8 участников. По условию, все участники набрали разное количество очков, следовательно, все 8 мест в итоговой таблице различны и нет ничьих. Места распределяются с 1-го по 8-е.

Нам необходимо найти, сколькими способами могут распределиться места среди трех девушек. Это означает, что нам нужно выбрать 3 места из 8 возможных для трех девушек, причем порядок, в котором девушки занимают эти места, важен (например, ситуация, где первая девушка заняла 1-е место, а вторая — 2-е, отличается от ситуации, где первая заняла 2-е, а вторая — 1-е).

Такая задача решается с помощью формулы для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которая показывает, сколькими способами можно выбрать и разместить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.

Формула размещений имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 8$ — общее количество мест в турнирной таблице.
• $k = 3$ — количество девушек, для которых нужно распределить места.

Подставим значения в формулу:

$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6$

Выполним вычисления:

$8 \times 7 = 56$

$56 \times 6 = 336$

Эту же задачу можно решить с помощью правила умножения. Первую девушку можно разместить на любое из 8 мест. Вторую девушку — на любое из оставшихся 7 мест. Третью — на любое из оставшихся 6 мест. Общее число способов равно произведению этих возможностей:

$8 \times 7 \times 6 = 336$

Таким образом, существует 336 способов распределения мест среди девушек.

Ответ: 336

444. Доказать, что $A_n^{k+1}=(n-k)A_n^k$, где $k < n, k \in N, n \in N.$

Для доказательства тождества $A_{n}^{k+1} = (n-k)A_{n}^{k}$ необходимо показать, что его левая и правая части равны при использовании определения числа размещений.

Формула для числа размещений (упорядоченных выборок) из $n$ элементов по $m$ имеет вид: $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$

Преобразуем левую часть равенства, $A_{n}^{k+1}$, подставив в общую формулу $m=k+1$:
$A_{n}^{k+1} = \frac{n!}{(n-(k+1))!} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$

Теперь преобразуем правую часть равенства, $(n-k)A_{n}^{k}$. Для этого подставим в нее определение $A_{n}^{k}$ (где $m=k$):
$(n-k)A_{n}^{k} = (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k)!}$

Используя свойство факториала, согласно которому $(n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1)!$, заменим знаменатель в полученном выражении:
$(n-k)A_{n}^{k} = (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k) \cdot (n-k-1)!}$

Сократим общий множитель $(n-k)$ в числителе и знаменателе. Это действие является корректным, так как по условию задачи $k < n$, а значит, $n-k > 0$. В результате получаем:
$(n-k)A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$

Таким образом, мы видим, что преобразованные левая и правая части исходного равенства совпали:
$A_{n}^{k+1} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
$(n-k)A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k-1)!}$
Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A_{n}^{k+1} = (n-k)A_{n}^{k}$ доказано путем алгебраических преобразований его левой и правой частей с использованием формулы для числа размещений. Обе части приводятся к виду $\frac{n!}{(n-k-1)!}$, что подтверждает их равенство.