Номер 435, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 4. Размещения без повторений - номер 435, страница 181.

Условие.

435. Вычислить:

1) $A_3^1$; 2) $A_3^2$; 3) $A_7^2$; 4) $A_7^7$;

5) $A_8^3$; 6) $A_8^4$; 7) $A_{10}^2$; 8) $A_{10}^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$, обозначаемого как $A_n^k$, используется следующая формула:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. На практике удобнее использовать эквивалентную формулу:

$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Это означает, что для вычисления $A_n^k$ нужно перемножить $k$ последовательных целых чисел, начиная с $n$ и двигаясь в сторону уменьшения.

1) $A_3^1$

Для вычисления $A_3^1$ мы имеем $n=3$ и $k=1$. Это означает, что нам нужно взять первый и единственный множитель, равный 3.
$A_3^1 = 3$
Ответ: 3

2) $A_3^2$

Для вычисления $A_3^2$ мы имеем $n=3$ и $k=2$. Нам нужно перемножить два последовательных числа, начиная с 3.
$A_3^2 = 3 \cdot 2 = 6$
Ответ: 6

3) $A_7^2$

Для вычисления $A_7^2$ мы имеем $n=7$ и $k=2$. Нам нужно перемножить два последовательных числа, начиная с 7.
$A_7^2 = 7 \cdot 6 = 42$
Ответ: 42

4) $A_7^7$

Для вычисления $A_7^7$ мы имеем $n=7$ и $k=7$. Это число перестановок из 7 элементов, которое равно $7!$.
$A_7^7 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$
Ответ: 5040

5) $A_8^3$

Для вычисления $A_8^3$ мы имеем $n=8$ и $k=3$. Нам нужно перемножить три последовательных числа, начиная с 8.
$A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 56 \cdot 6 = 336$
Ответ: 336

6) $A_8^4$

Для вычисления $A_8^4$ мы имеем $n=8$ и $k=4$. Нам нужно перемножить четыре последовательных числа, начиная с 8.
$A_8^4 = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 56 \cdot 30 = 1680$
Ответ: 1680

7) $A_{10}^2$

Для вычисления $A_{10}^2$ мы имеем $n=10$ и $k=2$. Нам нужно перемножить два последовательных числа, начиная с 10.
$A_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90$
Ответ: 90

8) $A_{10}^4$

Для вычисления $A_{10}^4$ мы имеем $n=10$ и $k=4$. Нам нужно перемножить четыре последовательных числа, начиная с 10.
$A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 90 \cdot 56 = 5040$
Ответ: 5040