Номер 432, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Перестановки. Глава 5. Комбинаторика - номер 432, страница 178.

Условие.

432. Сколько анаграмм можно составить из слова:

1) клок;

2) окно;

3) драма;

4) банан;

5) шарабан;

6) кукушка;

7) математика;

8) тетраэдр?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения количества анаграмм (различных перестановок букв) в слове используется формула для числа перестановок с повторениями:

$P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}$

где $n$ — общее количество букв в слове, а $n_1, n_2, ..., n_k$ — количества одинаковых (повторяющихся) букв.

1) клок;
В слове "клок" 4 буквы ($n=4$). Буква "к" повторяется 2 раза ($n_1=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: 12.

2) окно;
В слове "окно" 4 буквы ($n=4$). Буква "о" повторяется 2 раза ($n_1=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: 12.

3) драма;
В слове "драма" 5 букв ($n=5$). Буква "а" повторяется 2 раза ($n_1=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$.
Ответ: 60.

4) банан;
В слове "банан" 5 букв ($n=5$). Буква "а" повторяется 2 раза ($n_1=2$), и буква "н" повторяется 2 раза ($n_2=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{2 \cdot 2} = \frac{120}{4} = 30$.
Ответ: 30.

5) шарабан;
В слове "шарабан" 7 букв ($n=7$). Буква "а" повторяется 3 раза ($n_1=3$).
Число анаграмм: $N = \frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$.
Ответ: 840.

6) кукушка;
В слове "кукушка" 7 букв ($n=7$). Буква "к" повторяется 3 раза ($n_1=3$), и буква "у" повторяется 2 раза ($n_2=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{7!}{3! \cdot 2!} = \frac{5040}{6 \cdot 2} = \frac{5040}{12} = 420$.
Ответ: 420.

7) математика;
В слове "математика" 10 букв ($n=10$). Буква "м" повторяется 2 раза ($n_1=2$), буква "а" — 3 раза ($n_2=3$), и буква "т" — 2 раза ($n_3=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3628800}{24} = 151200$.
Ответ: 151200.

8) тетраэдр?
В слове "тетраэдр" 8 букв ($n=8$). Буква "т" повторяется 2 раза ($n_1=2$), и буква "р" повторяется 2 раза ($n_2=2$).
Число анаграмм: $N = \frac{8!}{2! \cdot 2!} = \frac{40320}{2 \cdot 2} = \frac{40320}{4} = 10080$.
Ответ: 10080.