Номер 433, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 3. Перестановки - номер 433, страница 178.

Условие.

433. На Новый год троим братьям родители купили в подарок 6 различных книг и решили каждому подарить по 2 книги. Сколькими способами можно сделать эти подарки?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Эта задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно распределить 6 различных книг между тремя братьями, каждому по 2 книги. Поскольку братья различны, то важен не только состав набора из двух книг, но и то, какому именно брату этот набор достанется. Решим задачу пошагово.

1. Выбор книг для первого брата.
Нужно выбрать 2 книги из 6. Порядок, в котором мы выбираем эти две книги, не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Число способов выбрать 2 книги из 6:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$ способов.

2. Выбор книг для второго брата.
После того, как мы отдали 2 книги первому брату, осталось $6 - 2 = 4$ книги. Для второго брата нужно выбрать 2 книги из этих 4.
Число способов выбрать 2 книги из 4:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$ способов.

3. Выбор книг для третьего брата.
Осталось $4 - 2 = 2$ книги, которые и получит третий брат.
Число способов выбрать 2 книги из 2:
$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1$ способ.

Чтобы найти общее количество способов сделать подарки, необходимо перемножить количество способов для каждого шага, так как выборы для каждого брата являются частью одного общего процесса распределения.
Общее количество способов = $C_6^2 \times C_4^2 \times C_2^2 = 15 \times 6 \times 1 = 90$.

Ответ: 90