Номер 437, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Размещения без повторений. Глава 5. Комбинаторика - номер 437, страница 181.

Условие.

437. Сколько существует способов для обозначения вершин данного четырёхугольника с помощью букв $A, B, C, D, E, F$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо использовать методы комбинаторики. У нас есть четырёхугольник, который имеет 4 вершины, и нам нужно обозначить их, используя 4 различные буквы из предложенного набора из 6 букв: {A, B, C, D, E, F}.

Поскольку порядок, в котором мы присваиваем буквы вершинам, имеет значение (например, четырёхугольник, обозначенный как ABCD, отличается от четырёхугольника ABDC), задача сводится к нахождению числа размещений без повторений.

Рассмотрим процесс выбора букв для каждой вершины последовательно:

• Для обозначения первой вершины мы можем выбрать любую из 6 доступных букв.
• После выбора буквы для первой вершины, для второй остаётся 5 неиспользованных букв.
• Для третьей вершины остаётся 4 варианта.
• И, наконец, для четвёртой вершины остаётся 3 варианта.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить число вариантов для каждой вершины:

$N = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

Этот же результат можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$, которая обозначается как $A_n^k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее количество элементов (букв) $n=6$, а количество позиций для размещения (вершин) $k=4$. Подставляем эти значения в формулу:

$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$

Таким образом, существует 360 различных способов для обозначения вершин данного четырёхугольника.

Ответ: 360.