Номер 439, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Размещения без повторений. Глава 5. Комбинаторика - номер 439, страница 181.

Условие.

439. В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В данной задаче нам необходимо найти количество различных способов, которыми 10 команд могут занять первые три призовых места. Поскольку порядок команд на этих местах важен (например, ситуация, когда команда X занимает первое место, а команда Y — второе, отличается от ситуации, когда команда Y на первом месте, а команда X на втором), мы должны использовать комбинаторную формулу для размещений.

1-й способ (логическое рассуждение):

Мы можем рассуждать последовательно, определяя количество вариантов для каждого места:

• На первое место может претендовать любая из 10 команд, то есть существует 10 вариантов.
• После того как одна команда заняла первое место, на второе место могут претендовать оставшиеся 9 команд. Таким образом, для второго места есть 9 вариантов.
• Когда первые два места распределены, на третье место остается 8 команд-претендентов, то есть 8 вариантов.

Чтобы найти общее число различных возможностей, мы используем правило умножения в комбинаторике, перемножая число вариантов для каждого призового места:
$10 \times 9 \times 8 = 720$

2-й способ (использование формулы):

Задачи, в которых важен порядок следования элементов, решаются с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 10$ (общее количество команд)
• $k = 3$ (количество призовых мест)

Подставляем эти значения в формулу:
$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!}$

Распишем факториал в числителе и сократим дробь:
$A_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 9 \times 8 = 720$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 720.