Номер 440, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 4. Размещения без повторений - номер 440, страница 181.

Условие.

440. Найти значение выражения:

1) $\frac{A_{11}^3 - A_{10}^2}{A_9^1};$

2) $\frac{A_{12}^4 \cdot A_7^7}{A_{11}^9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи используется формула для нахождения числа размещений из $n$ элементов по $k$ элементов: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$.

1) $\frac{A_{11}^{3} - A_{10}^{2}}{A_{9}^{1}}$

Сначала вычислим каждое значение размещения отдельно:
$A_{11}^{3} = 11 \cdot 10 \cdot 9 = 990$
$A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90$
$A_{9}^{1} = 9$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{A_{11}^{3} - A_{10}^{2}}{A_{9}^{1}} = \frac{990 - 90}{9} = \frac{900}{9} = 100$

Ответ: 100

2) $\frac{A_{12}^{4} \cdot A_{7}^{7}}{A_{11}^{9}}$

Запишем выражение, используя формулу для размещений через факториалы:
$A_{12}^{4} = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$
$A_{7}^{7} = \frac{7!}{(7-7)!} = \frac{7!}{0!} = 7!$ (по определению $0! = 1$)
$A_{11}^{9} = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$

Подставим эти выражения в исходную дробь:
$\frac{A_{12}^{4} \cdot A_{7}^{7}}{A_{11}^{9}} = \frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$

Теперь сократим факториалы. Для этого представим $12!$ как $12 \cdot 11!$ и $8!$ как $8 \cdot 7!$:
$\frac{(12 \cdot 11!) \cdot 7! \cdot 2!}{(8 \cdot 7!) \cdot 11!}$

Сокращаем одинаковые множители ($11!$ и $7!$) в числителе и знаменателе:
$\frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot (2 \cdot 1)}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: 3