Номер 434, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 3. Перестановки - номер 434, страница 178.

Условие.

434. Когда Х. Гюйгенс (1629—1695) открыл кольцо Сатурна, он составил следующую анаграмму:

aaaaaaa ccccc d eeeee g h iiiiiii llll mm nnnnnnnnn oooo pp q rr s ttttt uuuuu.

Этими буквами записывается фраза «Annulo cingitur tenui, plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato» («Окружён кольцом тонким, плоским, нигде не подвешенным, наклонным к эклиптике»). Сколько различных анаграмм можно составить из букв зашифрованной Гюйгенсом фразы?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи необходимо определить количество перестановок с повторениями. Это задача из области комбинаторики, где нужно найти число всех возможных способов расположения набора объектов, некоторые из которых неотличимы друг от друга.

1. Подсчет количества букв

Сначала необходимо подсчитать общее количество букв (n) в анаграмме и количество раз, которое встречается каждая уникальная буква (n₁, n₂, ...).Анаграмма состоит из следующих букв:"aaaaaaa ccccc d eeeee g h iiiiiii llll mm nnnnnnnnn oooo pp q rr s ttttt uuuuu"

Подсчитаем количество каждой буквы:

• 'a': 7 раз ($n_a=7$)
• 'c': 5 раз ($n_c=5$)
• 'd': 1 раз ($n_d=1$)
• 'e': 5 раз ($n_e=5$)
• 'g': 1 раз ($n_g=1$)
• 'h': 1 раз ($n_h=1$)
• 'i': 7 раз ($n_i=7$)
• 'l': 4 раза ($n_l=4$)
• 'm': 2 раза ($n_m=2$)
• 'n': 9 раз ($n_n=9$)
• 'o': 4 раза ($n_o=4$)
• 'p': 2 раза ($n_p=2$)
• 'q': 1 раз ($n_q=1$)
• 'r': 2 раза ($n_r=2$)
• 's': 1 раз ($n_s=1$)
• 't': 5 раз ($n_t=5$)
• 'u': 5 раз ($n_u=5$)

Общее количество букв $n$ равно сумме всех этих количеств:$n = 7 + 5 + 1 + 5 + 1 + 1 + 7 + 4 + 2 + 9 + 4 + 2 + 1 + 2 + 1 + 5 + 5 = 62$

2. Применение формулы перестановок с повторениями

Количество различных анаграмм (перестановок с повторениями) вычисляется по формуле:$P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$где $n$ — общее число элементов, а $n_1, n_2, \dots, n_k$ — количества одинаковых элементов каждого вида.

Подставим наши значения в формулу. В знаменателе будут факториалы количеств каждой буквы. Факториалы от единицы ($1! = 1$) можно опустить, так как они не влияют на результат.

Число анаграмм $N$ будет равно:$N = \frac{62!}{7! \cdot 5! \cdot 1! \cdot 5! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 7! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 9! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 5! \cdot 5!}$

Упростим выражение, убрав $1!$ и сгруппировав одинаковые множители в знаменателе:

$N = \frac{62!}{9! \cdot (7!)^2 \cdot (5!)^4 \cdot (4!)^2 \cdot (2!)^3}$

Это выражение и является точным количеством различных анаграмм, которые можно составить из букв зашифрованной фразы. Вычисление точного числового значения не требуется и является крайне громоздким.

Ответ: Количество различных анаграмм, которые можно составить из букв зашифрованной Гюйгенсом фразы, равно $\frac{62!}{9! \cdot (7!)^2 \cdot (5!)^4 \cdot (4!)^2 \cdot (2!)^3}$.