Номер 441, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 4. Размещения без повторений - номер 441, страница 181.

Условие.

441. Решить относительно m уравнение:

1) $A_m^2 = 90$;

2) $A_m^3 = 56m$;

3) $A_{m+1}^2 = 156$;

4) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данных уравнений воспользуемся формулой числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ): $n$ и $k$ должны быть натуральными числами, и $n \ge k$.

1) $A_m^2 = 90$

ОДЗ для этого уравнения: $m$ — натуральное число и $m \ge 2$.

Используя формулу для размещений, получаем:

$A_m^2 = m(m-1)$

Подставим это в исходное уравнение:

$m(m-1) = 90$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$m^2 - m - 90 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -90. Корни уравнения: $m_1 = 10$ и $m_2 = -9$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -9$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит. Корень $m_1 = 10$ удовлетворяет условию $m \ge 2$.

Ответ: $m = 10$.

2) $A_m^3 = 56m$

ОДЗ: $m$ — натуральное число и $m \ge 3$.

Запишем выражение для $A_m^3$:

$A_m^3 = m(m-1)(m-2)$

Подставим в уравнение:

$m(m-1)(m-2) = 56m$

Так как согласно ОДЗ $m \ge 3$, то $m \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $m$:

$(m-1)(m-2) = 56$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$m^2 - 3m + 2 = 56$

$m^2 - 3m - 54 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение -54. Корни уравнения: $m_1 = 9$ и $m_2 = -6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -6$ не является натуральным числом. Корень $m_1 = 9$ удовлетворяет условию $m \ge 3$.

Ответ: $m = 9$.

3) $A_{m+1}^2 = 156$

ОДЗ: $m+1$ — натуральное число и $m+1 \ge 2$, что эквивалентно условию: $m$ — натуральное число и $m \ge 1$.

Запишем выражение для $A_{m+1}^2$:

$A_{m+1}^2 = (m+1)((m+1)-1) = (m+1)m$

Подставим в уравнение:

$m(m+1) = 156$

Решим квадратное уравнение:

$m^2 + m - 156 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.

Корни уравнения: $m_1 = \frac{-1 + 25}{2} = 12$ и $m_2 = \frac{-1 - 25}{2} = -13$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -13$ не удовлетворяет условию $m \ge 1$. Корень $m_1 = 12$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $m = 12$.

4) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$

Найдем ОДЗ. Для $A_m^5$ требуется $m \ge 5$. Для $A_{m-2}^4$ требуется $m-2 \ge 4$, то есть $m \ge 6$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $m$ — натуральное число и $m \ge 6$.

Запишем выражения для размещений:

$A_m^5 = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$

$A_{m-2}^4 = (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4) = 18 \cdot (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$

Из ОДЗ ($m \ge 6$) следует, что множители $(m-2)$, $(m-3)$, $(m-4)$ не равны нулю. Разделим обе части уравнения на произведение $(m-2)(m-3)(m-4)$:

$m(m-1) = 18(m-5)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$m^2 - m = 18m - 90$

$m^2 - 19m + 90 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 19, а произведение 90. Корни уравнения: $m_1 = 9$ и $m_2 = 10$.

Оба корня $m_1 = 9$ и $m_2 = 10$ удовлетворяют ОДЗ ($m \ge 6$).

Ответ: $m = 9, m = 10$.