Номер 441, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Размещения без повторений. Глава 5. Комбинаторика - номер 441, страница 181.
№441 (с. 181)
Условие. №441 (с. 181)
скриншот условия

441. Решить относительно m уравнение:
1) $A_m^2 = 90$;
2) $A_m^3 = 56m$;
3) $A_{m+1}^2 = 156$;
4) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$.
Решение 1. №441 (с. 181)




Решение 2. №441 (с. 181)


Решение 3. №441 (с. 181)
Для решения данных уравнений воспользуемся формулой числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ): $n$ и $k$ должны быть натуральными числами, и $n \ge k$.
1) $A_m^2 = 90$
ОДЗ для этого уравнения: $m$ — натуральное число и $m \ge 2$.
Используя формулу для размещений, получаем:
$A_m^2 = m(m-1)$
Подставим это в исходное уравнение:
$m(m-1) = 90$
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$m^2 - m - 90 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -90. Корни уравнения: $m_1 = 10$ и $m_2 = -9$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -9$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит. Корень $m_1 = 10$ удовлетворяет условию $m \ge 2$.
Ответ: $m = 10$.
2) $A_m^3 = 56m$
ОДЗ: $m$ — натуральное число и $m \ge 3$.
Запишем выражение для $A_m^3$:
$A_m^3 = m(m-1)(m-2)$
Подставим в уравнение:
$m(m-1)(m-2) = 56m$
Так как согласно ОДЗ $m \ge 3$, то $m \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $m$:
$(m-1)(m-2) = 56$
Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$m^2 - 3m + 2 = 56$
$m^2 - 3m - 54 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение -54. Корни уравнения: $m_1 = 9$ и $m_2 = -6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -6$ не является натуральным числом. Корень $m_1 = 9$ удовлетворяет условию $m \ge 3$.
Ответ: $m = 9$.
3) $A_{m+1}^2 = 156$
ОДЗ: $m+1$ — натуральное число и $m+1 \ge 2$, что эквивалентно условию: $m$ — натуральное число и $m \ge 1$.
Запишем выражение для $A_{m+1}^2$:
$A_{m+1}^2 = (m+1)((m+1)-1) = (m+1)m$
Подставим в уравнение:
$m(m+1) = 156$
Решим квадратное уравнение:
$m^2 + m - 156 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.
Корни уравнения: $m_1 = \frac{-1 + 25}{2} = 12$ и $m_2 = \frac{-1 - 25}{2} = -13$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $m_2 = -13$ не удовлетворяет условию $m \ge 1$. Корень $m_1 = 12$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $m = 12$.
4) $A_m^5 = 18A_{m-2}^4$
Найдем ОДЗ. Для $A_m^5$ требуется $m \ge 5$. Для $A_{m-2}^4$ требуется $m-2 \ge 4$, то есть $m \ge 6$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $m$ — натуральное число и $m \ge 6$.
Запишем выражения для размещений:
$A_m^5 = m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)$
$A_{m-2}^4 = (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4) = 18 \cdot (m-2)(m-3)(m-4)(m-5)$
Из ОДЗ ($m \ge 6$) следует, что множители $(m-2)$, $(m-3)$, $(m-4)$ не равны нулю. Разделим обе части уравнения на произведение $(m-2)(m-3)(m-4)$:
$m(m-1) = 18(m-5)$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$m^2 - m = 18m - 90$
$m^2 - 19m + 90 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 19, а произведение 90. Корни уравнения: $m_1 = 9$ и $m_2 = 10$.
Оба корня $m_1 = 9$ и $m_2 = 10$ удовлетворяют ОДЗ ($m \ge 6$).
Ответ: $m = 9, m = 10$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 441 расположенного на странице 181 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №441 (с. 181), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.