Номер 448, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 448, страница 186.

Условие.

448. В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором должны светиться ровно 18 ламп?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача сводится к нахождению числа способов выбрать 18 элементов (горящих ламп) из множества, содержащего 20 элементов (все лампы). Поскольку порядок, в котором выбираются лампы, не важен, мы имеем дело с сочетаниями.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В условиях нашей задачи:

• Общее количество ламп $n = 20$.
• Количество ламп, которые должны гореть, $k = 18$.

Подставим эти значения в формулу:
$C_{20}^{18} = \frac{20!}{18!(20-18)!} = \frac{20!}{18! \cdot 2!}$

Для вычисления этого выражения можно сократить факториалы:
$C_{20}^{18} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18!}{18! \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{20 \cdot 19}{2}$

Выполним расчет:
$C_{20}^{18} = \frac{380}{2} = 190$

Стоит отметить, что задача выбора 18 горящих ламп эквивалентна задаче выбора 2 негорящих ламп из 20. Это можно проверить, вычислив $C_{20}^{2}$:
$C_{20}^{2} = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$

Оба подхода дают одинаковый результат. Следовательно, существует 190 вариантов освещения.

Ответ: 190.