Номер 442, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 4. Размещения без повторений. Глава 5. Комбинаторика - номер 442, страница 181.

Условие.

442. Найти значение выражения $ \frac{A_{10}^n \cdot P_{11-n}}{P_9} $, где $n \le 10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы для числа размещений и числа перестановок из комбинаторики.

Число размещений из $k$ элементов по $m$ элементам, обозначаемое $A_k^m$, вычисляется по формуле $A_k^m = \frac{k!}{(k-m)!}$.
Число перестановок из $k$ элементов, обозначаемое $P_k$, равно факториалу числа $k$, то есть $P_k = k!$.

Подставим эти определения в исходное выражение $\frac{A_{10}^n \cdot P_{11-n}}{P_9}$:
$A_{10}^n = \frac{10!}{(10-n)!}$
$P_{11-n} = (11-n)!$
$P_9 = 9!$

Подстановка дает следующее выражение:$$ \frac{\frac{10!}{(10-n)!} \cdot (11-n)!}{9!} $$

Для упрощения перепишем выражение в виде одной дроби:$$ \frac{10! \cdot (11-n)!}{9! \cdot (10-n)!} $$

Теперь сгруппируем множители с похожими факториалами и упростим их, используя свойство $k! = k \cdot (k-1)!$:$$ \left(\frac{10!}{9!}\right) \cdot \left(\frac{(11-n)!}{(10-n)!}\right) $$

Упростим каждую часть по отдельности:
$\frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$
$\frac{(11-n)!}{(10-n)!} = \frac{(11-n) \cdot (10-n)!}{(10-n)!} = 11-n$

Перемножим полученные результаты:$$ 10 \cdot (11-n) $$

Условие $n \le 10$ (а также то, что $n$ — целое неотрицательное число) необходимо для корректного определения комбинаторных формул, так как количество выбираемых элементов не может превышать общее количество, а аргументы факториалов должны быть неотрицательными.

Ответ: $10(11-n)$