Номер 443, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 4. Размещения без повторений - номер 443, страница 181.

Условие.

443. В шахматном турнире участвуют пять юношей и три девушки. Сколькими способами могут распределиться места среди девушек, если все участники набрали разные количества очков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В шахматном турнире участвуют 5 юношей и 3 девушки. Всего 8 участников. По условию, все участники набрали разное количество очков, следовательно, все 8 мест в итоговой таблице различны и нет ничьих. Места распределяются с 1-го по 8-е.

Нам необходимо найти, сколькими способами могут распределиться места среди трех девушек. Это означает, что нам нужно выбрать 3 места из 8 возможных для трех девушек, причем порядок, в котором девушки занимают эти места, важен (например, ситуация, где первая девушка заняла 1-е место, а вторая — 2-е, отличается от ситуации, где первая заняла 2-е, а вторая — 1-е).

Такая задача решается с помощью формулы для нахождения числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$, которая показывает, сколькими способами можно выбрать и разместить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.

Формула размещений имеет вид:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае:

• $n = 8$ — общее количество мест в турнирной таблице.
• $k = 3$ — количество девушек, для которых нужно распределить места.

Подставим значения в формулу:

$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6$

Выполним вычисления:

$8 \times 7 = 56$

$56 \times 6 = 336$

Эту же задачу можно решить с помощью правила умножения. Первую девушку можно разместить на любое из 8 мест. Вторую девушку — на любое из оставшихся 7 мест. Третью — на любое из оставшихся 6 мест. Общее число способов равно произведению этих возможностей:

$8 \times 7 \times 6 = 336$

Таким образом, существует 336 способов распределения мест среди девушек.

Ответ: 336