Номер 450, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона. Глава 5. Комбинаторика - номер 450, страница 186.

Условие.

450. На окружности отмечено 12 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти количество треугольников, которые можно составить из 12 точек на окружности, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 3 точки из 12. Каждая такая тройка точек будет образовывать уникальный треугольник, поскольку никакие три точки на окружности не лежат на одной прямой.

Порядок выбора точек для вершин треугольника не важен (треугольник ABC — это тот же самый, что и треугольник BCA). Следовательно, мы имеем дело с сочетаниями.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче общее количество точек $n = 12$, а для построения треугольника нам нужно выбрать $k = 3$ точки.

Подставляем эти значения в формулу:
$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!}$

Теперь выполним вычисления. Можно сократить $9!$ в числителе и знаменателе:
$C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1}$

$C_{12}^3 = \frac{1320}{6} = 220$

Таким образом, из 12 точек на окружности можно образовать 220 различных треугольников.

Ответ: 220.