Номер 456, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 456, страница 186.

Условие.

456. С помощью свойств числа сочетаний найти сумму:

1) $C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5$;

2) $C_6^1+C_6^2+C_6^3+C_6^4+C_6^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для решения этой задачи воспользуемся свойством числа сочетаний, которое гласит, что сумма всех биномиальных коэффициентов для заданного $n$ равна $2^n$. Это свойство выражается формулой:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$

Эта формула является следствием формулы бинома Ньютона $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ при $a=1$ и $b=1$.

В данном случае нам нужно найти сумму $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$.

Здесь $n=5$. Применяя указанное выше свойство, получаем:

$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5$

Вычислим значение:

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$

Ответ: $32$

2) Для нахождения этой суммы мы также воспользуемся свойством $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

В данном случае $n=6$. Полная сумма сочетаний для $n=6$ равна:

$C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = 2^6 = 64$

Искомая сумма $S = C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5$ не включает первый ($C_6^0$) и последний ($C_6^6$) члены полной суммы.

Чтобы найти $S$, мы можем вычесть недостающие члены из полной суммы:

$S = (C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6) - C_6^0 - C_6^6$

Воспользуемся свойствами числа сочетаний: $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$.

Следовательно, $C_6^0 = 1$ и $C_6^6 = 1$.

Подставим эти значения в наше выражение:

$S = 2^6 - 1 - 1 = 64 - 2 = 62$

Ответ: $62$