Номер 452, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 452, страница 186.

Условие.

452. Записать разложение бинома:

1) $(1+x)^7$;

2) $(x-2)^4$;

3) $(2x+3)^4$;

4) $(3x-2)^4$;

5) $(2a-\frac{1}{2})^5$;

6) $(\frac{a}{2}+2)^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения всех пунктов используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

---

1) $(1+x)^7$

Здесь $a=1$, $b=x$ и $n=7$.

Разложение имеет вид:

$(1+x)^7 = C_7^0 \cdot 1^7 \cdot x^0 + C_7^1 \cdot 1^6 \cdot x^1 + C_7^2 \cdot 1^5 \cdot x^2 + C_7^3 \cdot 1^4 \cdot x^3 + C_7^4 \cdot 1^3 \cdot x^4 + C_7^5 \cdot 1^2 \cdot x^5 + C_7^6 \cdot 1^1 \cdot x^6 + C_7^7 \cdot 1^0 \cdot x^7$.

Биномиальные коэффициенты для $n=7$ равны: $C_7^0=1, C_7^1=7, C_7^2=21, C_7^3=35, C_7^4=35, C_7^5=21, C_7^6=7, C_7^7=1$.

Подставляя значения коэффициентов и учитывая, что $1$ в любой степени равен $1$, получаем:

$(1+x)^7 = 1 + 7x + 21x^2 + 35x^3 + 35x^4 + 21x^5 + 7x^6 + x^7$.

Ответ: $1 + 7x + 21x^2 + 35x^3 + 35x^4 + 21x^5 + 7x^6 + x^7$.

---

2) $(x-2)^4$

Здесь $a=x$, $b=-2$ и $n=4$.

Разложение по формуле:

$(x-2)^4 = C_4^0 x^4 (-2)^0 + C_4^1 x^3 (-2)^1 + C_4^2 x^2 (-2)^2 + C_4^3 x^1 (-2)^3 + C_4^4 x^0 (-2)^4$.

Коэффициенты для $n=4$ (из треугольника Паскаля): $1, 4, 6, 4, 1$.

Подставляем значения:

$(x-2)^4 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot (-2) + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16$.

$(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$.

Ответ: $x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$.

---

3) $(2x+3)^4$

Здесь $a=2x$, $b=3$ и $n=4$.

Разложение по формуле:

$(2x+3)^4 = C_4^0 (2x)^4 3^0 + C_4^1 (2x)^3 3^1 + C_4^2 (2x)^2 3^2 + C_4^3 (2x)^1 3^3 + C_4^4 (2x)^0 3^4$.

Используем те же коэффициенты для $n=4$: $1, 4, 6, 4, 1$.

Подставляем значения и вычисляем степени:

$(2x+3)^4 = 1 \cdot (16x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (8x^3) \cdot 3 + 6 \cdot (4x^2) \cdot 9 + 4 \cdot (2x) \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81$.

$(2x+3)^4 = 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81$.

Ответ: $16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81$.

---

4) $(3x-2)^4$

Здесь $a=3x$, $b=-2$ и $n=4$.

Разложение по формуле:

$(3x-2)^4 = C_4^0 (3x)^4 (-2)^0 + C_4^1 (3x)^3 (-2)^1 + C_4^2 (3x)^2 (-2)^2 + C_4^3 (3x)^1 (-2)^3 + C_4^4 (3x)^0 (-2)^4$.

Коэффициенты для $n=4$: $1, 4, 6, 4, 1$.

Подставляем значения и вычисляем степени:

$(3x-2)^4 = 1 \cdot (81x^4) \cdot 1 + 4 \cdot (27x^3) \cdot (-2) + 6 \cdot (9x^2) \cdot 4 + 4 \cdot (3x) \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16$.

$(3x-2)^4 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16$.

Ответ: $81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16$.

---

5) $(2a - \frac{1}{2})^5$

Здесь $a=2a$, $b=-\frac{1}{2}$ и $n=5$.

Разложение по формуле:

$(2a - \frac{1}{2})^5 = C_5^0 (2a)^5 (-\frac{1}{2})^0 + C_5^1 (2a)^4 (-\frac{1}{2})^1 + C_5^2 (2a)^3 (-\frac{1}{2})^2 + C_5^3 (2a)^2 (-\frac{1}{2})^3 + C_5^4 (2a)^1 (-\frac{1}{2})^4 + C_5^5 (2a)^0 (-\frac{1}{2})^5$.

Коэффициенты для $n=5$: $C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1$.

Подставляем значения:

$(2a - \frac{1}{2})^5 = 1 \cdot (32a^5) \cdot 1 + 5 \cdot (16a^4) \cdot (-\frac{1}{2}) + 10 \cdot (8a^3) \cdot (\frac{1}{4}) + 10 \cdot (4a^2) \cdot (-\frac{1}{8}) + 5 \cdot (2a) \cdot (\frac{1}{16}) + 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{32})$.

$(2a - \frac{1}{2})^5 = 32a^5 - 40a^4 + 20a^3 - 5a^2 + \frac{10}{16}a - \frac{1}{32}$.

Упрощая, получаем:

$(2a - \frac{1}{2})^5 = 32a^5 - 40a^4 + 20a^3 - 5a^2 + \frac{5}{8}a - \frac{1}{32}$.

Ответ: $32a^5 - 40a^4 + 20a^3 - 5a^2 + \frac{5}{8}a - \frac{1}{32}$.

---

6) $(\frac{a}{2} + 2)^6$

Здесь $a=\frac{a}{2}$, $b=2$ и $n=6$.

Разложение по формуле:

$(\frac{a}{2} + 2)^6 = C_6^0 (\frac{a}{2})^6 2^0 + C_6^1 (\frac{a}{2})^5 2^1 + C_6^2 (\frac{a}{2})^4 2^2 + C_6^3 (\frac{a}{2})^3 2^3 + C_6^4 (\frac{a}{2})^2 2^4 + C_6^5 (\frac{a}{2})^1 2^5 + C_6^6 (\frac{a}{2})^0 2^6$.

Коэффициенты для $n=6$: $C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1$.

Подставляем значения:

$(\frac{a}{2} + 2)^6 = 1 \cdot \frac{a^6}{64} \cdot 1 + 6 \cdot \frac{a^5}{32} \cdot 2 + 15 \cdot \frac{a^4}{16} \cdot 4 + 20 \cdot \frac{a^3}{8} \cdot 8 + 15 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot 16 + 6 \cdot \frac{a}{2} \cdot 32 + 1 \cdot 1 \cdot 64$.

Выполняем умножение и упрощаем:

$(\frac{a}{2} + 2)^6 = \frac{a^6}{64} + \frac{12a^5}{32} + \frac{60a^4}{16} + 20a^3 + 60a^2 + 96a + 64$.

Сокращаем дроби:

$(\frac{a}{2} + 2)^6 = \frac{a^6}{64} + \frac{3}{8}a^5 + \frac{15}{4}a^4 + 20a^3 + 60a^2 + 96a + 64$.

Ответ: $\frac{a^6}{64} + \frac{3}{8}a^5 + \frac{15}{4}a^4 + 20a^3 + 60a^2 + 96a + 64$.