Номер 455, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 5. Сочетания без повторений и бином Ньютона - номер 455, страница 186.

Условие.

455. Найти значение выражения, предварительно упростив его:

1) $C_{15}^{12} + C_{15}^{13};$

2) $C_{11}^{3} + C_{11}^{2};$

3) $C_{21}^{4} - C_{20}^{4};$

4) $C_{101}^{3} - C_{100}^{3};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этих задач используется свойство сочетаний, известное как тождество Паскаля:

$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

1) $C_{15}^{12} + C_{15}^{13}$

Применим тождество Паскаля, где $n=15$ и $k=12$.

$C_{15}^{12} + C_{15}^{13} = C_{15+1}^{13} = C_{16}^{13}$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметричности $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{16}^{13} = C_{16}^{16-13} = C_{16}^{3}$

Теперь вычислим значение:

$C_{16}^{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 16 \cdot 5 \cdot 7 = 560$

Ответ: 560

2) $C_{11}^{3} + C_{11}^{2}$

Чтобы привести выражение к виду тождества Паскаля, поменяем слагаемые местами: $C_{11}^{2} + C_{11}^{3}$.

Применим тождество, где $n=11$ и $k=2$.

$C_{11}^{2} + C_{11}^{3} = C_{11+1}^{3} = C_{12}^{3}$

Вычислим значение:

$C_{12}^{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$

Ответ: 220

3) $C_{21}^{4} - C_{20}^{4}$

Для решения воспользуемся следствием из тождества Паскаля. Исходное тождество можно записать как $C_n^{k-1} + C_n^k = C_{n+1}^k$.

Выразим из него разность: $C_{n+1}^k - C_n^k = C_n^{k-1}$.

В нашем выражении $n+1=21$ (следовательно, $n=20$) и $k=4$.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_{21}^{4} - C_{20}^{4} = C_{20}^{4-1} = C_{20}^{3}$

Теперь вычислим значение:

$C_{20}^{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \cdot 19 \cdot 3 = 1140$

Ответ: 1140

4) $C_{101}^{3} - C_{100}^{3}$

Используем то же следствие из тождества Паскаля, что и в предыдущем пункте: $C_{n+1}^k - C_n^k = C_n^{k-1}$.

Здесь $n+1=101$ (следовательно, $n=100$) и $k=3$.

Подставляем значения:

$C_{101}^{3} - C_{100}^{3} = C_{100}^{3-1} = C_{100}^{2}$

Вычислим значение:

$C_{100}^{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100!}{2! \cdot 98!} = \frac{100 \cdot 99}{2 \cdot 1} = 50 \cdot 99 = 4950$

Ответ: 4950