Номер 428, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 3. Перестановки - номер 428, страница 178.

Условие.

428. Решить уравнение относительно n:

1) $ \frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{3} $;

2) $ \frac{nP_{n-2}}{P_n} = 0,1 $;

3) $ \frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} - 1 = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{3}$

Число перестановок из $k$ элементов определяется по формуле $P_k = k!$. Для того чтобы выражения $P_n$ и $P_{n+1}$ имели смысл, необходимо, чтобы $n$ было целым неотрицательным числом, то есть $n \ge 0$.

Запишем уравнение, используя определение факториала:
$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{3}$

Используем свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$.
$\frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{3}$

Сократим дробь на $n!$ (так как при $n \ge 0$, $n! \ne 0$):
$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{3}$

Отсюда следует, что $n+1 = 3$.
$n = 3 - 1$
$n = 2$

Полученное значение $n=2$ удовлетворяет условию $n \ge 0$.
Ответ: $n=2$.

2) $\frac{nP_{n-2}}{P_n} = 0,1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условиями существования перестановок: $n \ge 0$ и $n-2 \ge 0$. Объединяя эти условия для целых $n$, получаем $n \ge 2$.

Подставим в уравнение определения перестановок через факториалы и представим $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$:
$\frac{n \cdot (n-2)!}{n!} = \frac{1}{10}$

Представим $n!$ как $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$:
$\frac{n \cdot (n-2)!}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!} = \frac{1}{10}$

Сократим дробь на $n \cdot (n-2)!$ (согласно ОДЗ $n \ge 2$, эти множители не равны нулю):
$\frac{1}{n-1} = \frac{1}{10}$

Отсюда $n-1 = 10$.
$n = 10 + 1$
$n = 11$

Значение $n=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 2$).
Ответ: $n=11$.

3) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} - 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение:
$\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} = 1$

ОДЗ для данного уравнения определяется условиями $n-1 \ge 0$ и $n+1 \ge 0$ для целых $n$. Из первого условия следует $n \ge 1$, второе условие ($n \ge -1$) является менее строгим. Таким образом, ОДЗ: $n \ge 1$.

Подставляем факториалы в уравнение:
$\frac{2 \cdot (n-1)!}{(n+1)!} = 1$

Используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$, получаем:
$\frac{2 \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = 1$

Сокращаем на $(n-1)!$ (не равно нулю при $n \ge 1$):
$\frac{2}{n(n+1)} = 1$

$n(n+1) = 2$
$n^2 + n - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма корней равна -1. Корни: $n_1 = 1$ и $n_2 = -2$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$n_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$
$n_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$

Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$).
Корень $n_1=1$ удовлетворяет условию.
Корень $n_2=-2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.
Ответ: $n=1$.