Номер 428, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Перестановки. Глава 5. Комбинаторика - номер 428, страница 178.
№428 (с. 178)
Условие. №428 (с. 178)
скриншот условия

428. Решить уравнение относительно n:
1) $ \frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{3} $;
2) $ \frac{nP_{n-2}}{P_n} = 0,1 $;
3) $ \frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} - 1 = 0. $
Решение 1. №428 (с. 178)



Решение 2. №428 (с. 178)


Решение 3. №428 (с. 178)
1) $\frac{P_n}{P_{n+1}} = \frac{1}{3}$
Число перестановок из $k$ элементов определяется по формуле $P_k = k!$. Для того чтобы выражения $P_n$ и $P_{n+1}$ имели смысл, необходимо, чтобы $n$ было целым неотрицательным числом, то есть $n \ge 0$.
Запишем уравнение, используя определение факториала:
$\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{3}$
Используем свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$.
$\frac{n!}{(n+1) \cdot n!} = \frac{1}{3}$
Сократим дробь на $n!$ (так как при $n \ge 0$, $n! \ne 0$):
$\frac{1}{n+1} = \frac{1}{3}$
Отсюда следует, что $n+1 = 3$.
$n = 3 - 1$
$n = 2$
Полученное значение $n=2$ удовлетворяет условию $n \ge 0$.
Ответ: $n=2$.
2) $\frac{nP_{n-2}}{P_n} = 0,1$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условиями существования перестановок: $n \ge 0$ и $n-2 \ge 0$. Объединяя эти условия для целых $n$, получаем $n \ge 2$.
Подставим в уравнение определения перестановок через факториалы и представим $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$:
$\frac{n \cdot (n-2)!}{n!} = \frac{1}{10}$
Представим $n!$ как $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$:
$\frac{n \cdot (n-2)!}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!} = \frac{1}{10}$
Сократим дробь на $n \cdot (n-2)!$ (согласно ОДЗ $n \ge 2$, эти множители не равны нулю):
$\frac{1}{n-1} = \frac{1}{10}$
Отсюда $n-1 = 10$.
$n = 10 + 1$
$n = 11$
Значение $n=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 2$).
Ответ: $n=11$.
3) $\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} - 1 = 0$
Сначала преобразуем уравнение:
$\frac{2P_{n-1}}{P_{n+1}} = 1$
ОДЗ для данного уравнения определяется условиями $n-1 \ge 0$ и $n+1 \ge 0$ для целых $n$. Из первого условия следует $n \ge 1$, второе условие ($n \ge -1$) является менее строгим. Таким образом, ОДЗ: $n \ge 1$.
Подставляем факториалы в уравнение:
$\frac{2 \cdot (n-1)!}{(n+1)!} = 1$
Используя свойство факториала $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$, получаем:
$\frac{2 \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = 1$
Сокращаем на $(n-1)!$ (не равно нулю при $n \ge 1$):
$\frac{2}{n(n+1)} = 1$
$n(n+1) = 2$
$n^2 + n - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма корней равна -1. Корни: $n_1 = 1$ и $n_2 = -2$.
Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$.
$n_1 = \frac{-1+3}{2} = 1$
$n_2 = \frac{-1-3}{2} = -2$
Проверим корни по ОДЗ ($n \ge 1$).
Корень $n_1=1$ удовлетворяет условию.
Корень $n_2=-2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.
Ответ: $n=1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 428 расположенного на странице 178 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №428 (с. 178), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.