Номер 421, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями - номер 421, страница 175.

Условие.

421. Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если любую из них можно использовать в записи числа не более одного раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам нужно составить нечётное четырёхзначное число из цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, причём каждая цифра может быть использована только один раз.

Условия, которым должно удовлетворять число:

• Оно четырёхзначное, значит первая цифра не может быть 0.
• Оно нечётное, значит последняя цифра должна быть одной из {1, 3, 5, 7}.
• Все цифры в числе различны.

Будем последовательно выбирать цифры для каждой из четырёх позиций, начиная с тех, на которые наложены самые строгие ограничения.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц). Чтобы число было нечётным, на этой позиции должна стоять нечётная цифра. Из доступного набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} нечётными являются {1, 3, 5, 7}. Таким образом, у нас есть 4 варианта для последней цифры.

2. Выбор первой цифры (разряд тысяч). Эта цифра не может быть нулём (так как число четырёхзначное) и не может совпадать с уже выбранной последней цифрой. Всего у нас 8 цифр. Одну (нечётную) мы уже использовали для последнего разряда. Осталось 7 цифр. Среди этих 7 цифр есть 0, который не может стоять на первом месте. Следовательно, количество вариантов для первой цифры равно $7 - 1 = 6$.

3. Выбор второй цифры (разряд сотен). Мы уже выбрали две цифры для первого и последнего разрядов. Из 8 исходных цифр осталось $8 - 2 = 6$ свободных цифр. На вторую позицию может встать любая из них. Значит, у нас 6 вариантов.

4. Выбор третьей цифры (разряд десятков). Уже использованы три цифры. Из 8 исходных осталось $8 - 3 = 5$ свободных цифр. Следовательно, для третьей позиции есть 5 вариантов.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно правилу произведения:

Количество чисел = (варианты для последней цифры) $\cdot$ (варианты для первой цифры) $\cdot$ (варианты для второй цифры) $\cdot$ (варианты для третьей цифры)

Количество чисел = $4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 720$

Ответ: 720