Номер 415, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями. Глава 5. Комбинаторика - номер 415, страница 174.

Условие.

415. В классе 20 учащихся. Необходимо выбрать из их числа старосту, физорга и культорга. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если один ученик может занимать только одну должность?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи нужно найти количество способов выбрать 3 учеников на 3 разные должности из 20. Поскольку должности (староста, физорг, культорг) различны и один ученик может занимать только одну из них, то порядок выбора учеников на эти должности важен. Такие комбинации в математике называются размещениями.

Решение можно найти, используя правило произведения:

1. На должность старосты можно выбрать любого из 20 учеников. Есть 20 кандидатов.

2. После того, как староста выбран, он уже не может быть назначен на другую должность. Следовательно, на должность физорга можно выбрать любого из оставшихся $20 - 1 = 19$ учеников.

3. После выбора старосты и физорга в классе остается $20 - 2 = 18$ учеников. Значит, на должность культорга можно выбрать любого из 18 оставшихся.

Чтобы найти общее количество способов, необходимо перемножить количество вариантов для каждой должности:
$N = 20 \times 19 \times 18$
$N = 380 \times 18$
$N = 6840$

Также для решения можно использовать формулу числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Где $n$ – общее количество учеников ($n=20$), а $k$ – количество должностей ($k=3$).

$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840$

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6840