Номер 413, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями - номер 413, страница 174.

Условие.

413. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача решается с помощью методов комбинаторики. Нам нужно определить количество способов распределить две разные медали (золотую и серебряную) между 16 командами. Так как порядок распределения медалей важен (ситуация, когда команда А получает золото, а команда Б — серебро, отличается от ситуации, когда команда Б получает золото, а команда А — серебро), мы имеем дело с размещениями.

Решение можно найти двумя способами.

Способ 1: Использование правила произведения
1. Выбор команды на первое место (золотая медаль): Существует 16 претендентов, следовательно, 16 вариантов.
2. Выбор команды на второе место (серебряная медаль): После того как обладатель золотой медали определен, остается 15 команд-претендентов на серебряную медаль. Следовательно, 15 вариантов.
Общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого места: $N = 16 \times 15 = 240$.

Способ 2: Использование формулы размещений
Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашей задаче:

• $n = 16$ — общее число команд.
• $k = 2$ — число распределяемых медалей (призовых мест).

Подставим значения в формулу: $A_{16}^2 = \frac{16!}{(16-2)!} = \frac{16!}{14!} = \frac{16 \times 15 \times 14!}{14!} = 16 \times 15 = 240$.

Оба способа показывают, что существует 240 различных вариантов распределения золотой и серебряной медалей.
Ответ: 240