Номер 407, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 1. Математическая индукция - номер 407, страница 171.

Условие.

407. Методом математической индукции доказать:

1) формулу суммы $S_n$ первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность арифметической прогрессии;

2) формулу суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель геометрической прогрессии, $q \neq 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) формулу суммы S_n первых n членов арифметической прогрессии S_n = $\frac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n$, где a₁ — первый член, d — разность арифметической прогрессии;

Докажем данную формулу методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что формула $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$ верна.

Шаг 1: База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

Сумма первого члена прогрессии $S_1$ по определению равна $a_1$.

Подставим $n=1$ в формулу:

$S_1 = \frac{2a_1 + (1-1)d}{2} \cdot 1 = \frac{2a_1 + 0 \cdot d}{2} = \frac{2a_1}{2} = a_1$.

Так как левая и правая части равны ($a_1 = a_1$), утверждение $P(1)$ истинно. База индукции доказана.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что верна формула:

$S_k = \frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k$.

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. То есть, нам нужно доказать, что $S_{k+1} = \frac{2a_1 + ((k+1)-1)d}{2} \cdot (k+1) = \frac{2a_1 + kd}{2} \cdot (k+1)$.

Сумма первых $k+1$ членов прогрессии $S_{k+1}$ может быть представлена как сумма первых $k$ членов $S_k$ плюс $(k+1)$-й член прогрессии $a_{k+1}$.

$S_{k+1} = S_k + a_{k+1}$.

Формула для $(k+1)$-го члена арифметической прогрессии: $a_{k+1} = a_1 + ((k+1)-1)d = a_1 + kd$.

Подставим в выражение для $S_{k+1}$ формулу для $S_k$ (из индукционного предположения) и формулу для $a_{k+1}$:

$S_{k+1} = \left(\frac{2a_1 + (k-1)d}{2} \cdot k\right) + (a_1 + kd)$.

Приведем к общему знаменателю 2:

$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + (k-1)d)k + 2(a_1 + kd)}{2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$S_{k+1} = \frac{2a_1k + k(k-1)d + 2a_1 + 2kd}{2} = \frac{2a_1k + k^2d - kd + 2a_1 + 2kd}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:

$S_{k+1} = \frac{(2a_1k + 2a_1) + (k^2d - kd + 2kd)}{2} = \frac{2a_1(k+1) + (k^2d + kd)}{2}$.

Вынесем общие множители:

$S_{k+1} = \frac{2a_1(k+1) + kd(k+1)}{2}$.

Вынесем $(k+1)$ за скобки в числителе:

$S_{k+1} = \frac{(2a_1 + kd)(k+1)}{2}$.

Полученное выражение совпадает с формулой для $P(k+1)$. Таким образом, мы доказали, что если $P(k)$ истинно, то $P(k+1)$ также истинно.

Заключение:

По принципу математической индукции, формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии верна для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано.

2) формулу суммы S_n первых n членов геометрической прогрессии S_n = $\frac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$, где b₁ — первый член, q — знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 1.

Докажем данную формулу методом математической индукции.

Пусть $P(n)$ — это утверждение, что формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$ верна.

Шаг 1: База индукции.

Проверим утверждение для $n=1$.

Сумма первого члена прогрессии $S_1$ по определению равна $b_1$.

Подставим $n=1$ в формулу:

$S_1 = \frac{b_1(q^1 - 1)}{q-1} = \frac{b_1(q - 1)}{q-1} = b_1$.

Так как левая и правая части равны ($b_1 = b_1$), утверждение $P(1)$ истинно. База индукции доказана.

Шаг 2: Индукционное предположение.

Предположим, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что верна формула:

$S_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q-1}$.

Шаг 3: Индукционный переход.

Докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. То есть, нам нужно доказать, что $S_{k+1} = \frac{b_1(q^{k+1} - 1)}{q-1}$.

Сумма первых $k+1$ членов прогрессии $S_{k+1}$ может быть представлена как сумма первых $k$ членов $S_k$ плюс $(k+1)$-й член прогрессии $b_{k+1}$.

$S_{k+1} = S_k + b_{k+1}$.

Формула для $(k+1)$-го члена геометрической прогрессии: $b_{k+1} = b_1 \cdot q^{(k+1)-1} = b_1 \cdot q^k$.

Подставим в выражение для $S_{k+1}$ формулу для $S_k$ (из индукционного предположения) и формулу для $b_{k+1}$:

$S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1)}{q-1} + b_1 q^k$.

Приведем к общему знаменателю $(q-1)$:

$S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1) + b_1 q^k (q-1)}{q-1}$.

Вынесем $b_1$ за скобки в числителе:

$S_{k+1} = \frac{b_1((q^k - 1) + q^k(q-1))}{q-1}$.

Раскроем внутренние скобки в числителе:

$S_{k+1} = \frac{b_1(q^k - 1 + q^k \cdot q - q^k \cdot 1)}{q-1} = \frac{b_1(q^k - 1 + q^{k+1} - q^k)}{q-1}$.

Сократим $q^k$ и $-q^k$ в числителе:

$S_{k+1} = \frac{b_1(q^{k+1} - 1)}{q-1}$.

Полученное выражение совпадает с формулой для $P(k+1)$. Таким образом, мы доказали, что если $P(k)$ истинно, то $P(k+1)$ также истинно.

Заключение:

По принципу математической индукции, формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии верна для любого натурального числа $n$ при $q \neq 1$.

Ответ: Доказано.