Номер 408, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Математическая индукция. Глава 5. Комбинаторика - номер 408, страница 171.
№408 (с. 171)
Условие. №408 (с. 171)
скриншот условия

408. Доказать, что при любом натуральном $n$ число:
1) $6^{2n-1} + 1$ делится на 7;
2) $4^n + 15n - 1$ делится на 9.
Решение 1. №408 (с. 171)


Решение 2. №408 (с. 171)

Решение 3. №408 (с. 171)
1) Докажем, что при любом натуральном $n$ число $6^{2n-1} + 1$ делится на 7.
Для доказательства воспользуемся сравнениями по модулю. Нам нужно показать, что $6^{2n-1} + 1$ делится на 7, что эквивалентно сравнению $6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$.
Рассмотрим основание степени 6 по модулю 7:
$6 \equiv -1 \pmod{7}$.
Подставим это в левую часть сравнения:
$6^{2n-1} + 1 \equiv (-1)^{2n-1} + 1 \pmod{7}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $2n$ — четное число, а значит $2n-1$ — нечетное число. Возведение -1 в любую нечетную степень дает в результате -1:
$(-1)^{2n-1} = -1$.
Следовательно, наше выражение по модулю 7 равно:
$-1 + 1 = 0$.
Таким образом, $6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$, что и доказывает, что число $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 для любого натурального $n$.
Ответ: Утверждение доказано.
2) Докажем, что при любом натуральном $n$ число $4^n + 15n - 1$ делится на 9.
Воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
$4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$.
Число 18 делится на 9 ($18 = 9 \cdot 2$), следовательно, утверждение верно для $n=1$.
Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $n=k$, то есть выражение $4^k + 15k - 1$ делится на 9. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $4^k + 15k - 1 = 9m$.
Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что выражение $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ также делится на 9.
Преобразуем это выражение:
$4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.
Из нашего предположения индукции выразим $4^k$: $4^k = 9m - 15k + 1$.
Подставим это в преобразуемое выражение:
$4 \cdot (9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18$.
Вынесем общий множитель 9 за скобки:
$9 \cdot (4m - 5k + 2)$.
Поскольку $m$ и $k$ — целые числа, то $4m - 5k + 2$ также является целым числом. Следовательно, выражение $9 \cdot (4m - 5k + 2)$ делится на 9.
Таким образом, мы доказали, что из верности утверждения для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$. В соответствии с принципом математической индукции, утверждение о том, что $4^n + 15n - 1$ делится на 9, верно для всех натуральных $n$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 408 расположенного на странице 171 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №408 (с. 171), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.