Номер 408, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 1. Математическая индукция - номер 408, страница 171.

Условие.

408. Доказать, что при любом натуральном $n$ число:

1) $6^{2n-1} + 1$ делится на 7;

2) $4^n + 15n - 1$ делится на 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем, что при любом натуральном $n$ число $6^{2n-1} + 1$ делится на 7.

Для доказательства воспользуемся сравнениями по модулю. Нам нужно показать, что $6^{2n-1} + 1$ делится на 7, что эквивалентно сравнению $6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$.

Рассмотрим основание степени 6 по модулю 7:

$6 \equiv -1 \pmod{7}$.

Подставим это в левую часть сравнения:

$6^{2n-1} + 1 \equiv (-1)^{2n-1} + 1 \pmod{7}$.

Поскольку $n$ — натуральное число, $2n$ — четное число, а значит $2n-1$ — нечетное число. Возведение -1 в любую нечетную степень дает в результате -1:

$(-1)^{2n-1} = -1$.

Следовательно, наше выражение по модулю 7 равно:

$-1 + 1 = 0$.

Таким образом, $6^{2n-1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$, что и доказывает, что число $6^{2n-1} + 1$ делится на 7 для любого натурального $n$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что при любом натуральном $n$ число $4^n + 15n - 1$ делится на 9.

Воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.

$4^1 + 15 \cdot 1 - 1 = 4 + 15 - 1 = 18$.

Число 18 делится на 9 ($18 = 9 \cdot 2$), следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $n=k$, то есть выражение $4^k + 15k - 1$ делится на 9. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $4^k + 15k - 1 = 9m$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$, то есть что выражение $4^{k+1} + 15(k+1) - 1$ также делится на 9.

Преобразуем это выражение:

$4^{k+1} + 15(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 15 - 1 = 4 \cdot 4^k + 15k + 14$.

Из нашего предположения индукции выразим $4^k$: $4^k = 9m - 15k + 1$.

Подставим это в преобразуемое выражение:

$4 \cdot (9m - 15k + 1) + 15k + 14 = 36m - 60k + 4 + 15k + 14 = 36m - 45k + 18$.

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9 \cdot (4m - 5k + 2)$.

Поскольку $m$ и $k$ — целые числа, то $4m - 5k + 2$ также является целым числом. Следовательно, выражение $9 \cdot (4m - 5k + 2)$ делится на 9.

Таким образом, мы доказали, что из верности утверждения для $n=k$ следует его верность для $n=k+1$. В соответствии с принципом математической индукции, утверждение о том, что $4^n + 15n - 1$ делится на 9, верно для всех натуральных $n$.

Ответ: Утверждение доказано.