Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 3, страница 166.
№3 (с. 166)
Условие. №3 (с. 166)
скриншот условия

3. Изобразить фигуру, площадь которой равна $\int_{1}^{2}(2x - x^2)dx$, и вычислить эту площадь.
Решение 2. №3 (с. 166)

Решение 3. №3 (с. 166)
Изображение фигуры
Заданный интеграл $ \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx $ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции. Эта фигура ограничена следующими линиями:
- сверху — графиком функции $ y = 2x - x^2 $;
- снизу — осью абсцисс $ y = 0 $;
- слева — вертикальной прямой $ x = 1 $;
- справа — вертикальной прямой $ x = 2 $.
Для того чтобы изобразить эту фигуру, необходимо построить график функции $ y = 2x - x^2 $. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.
Определим ключевые характеристики параболы:
- Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
- Вершина параболы: Координата x вершины находится по формуле $ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 $. Соответствующая координата y: $ y_в = 2(1) - (1)^2 = 1 $. Вершина находится в точке $(1, 1)$.
- Точки пересечения с осью Ox: Найдем корни уравнения $ 2x - x^2 = 0 $, или $ x(2-x) = 0 $. Корнями являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 2 $. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
На отрезке интегрирования $[1, 2]$ функция $ y = 2x - x^2 $ принимает неотрицательные значения. Таким образом, искомая фигура — это область, ограниченная сверху дугой параболы от её вершины $(1, 1)$ до точки пересечения с осью абсцисс $(2, 0)$, снизу — отрезком оси Ox от $x=1$ до $x=2$, и слева — вертикальной прямой $x=1$.
Ответ: Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной параболой $ y = 2x - x^2 $, осью Ox и прямыми $ x=1 $ и $ x=2 $.
Вычисление площади
Площадь $S$ данной фигуры вычисляется как значение определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница:
$ S = \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx $
Сначала найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $ f(x) = 2x - x^2 $:
$ F(x) = \int (2x - x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} $
Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования в первообразную:
$ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = F(2) - F(1) $
$ S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) $
$ S = \left( \frac{12 - 8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3 расположенного на странице 166 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3 (с. 166), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.