Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 3, страница 166.

Условие.

3. Изобразить фигуру, площадь которой равна $\int_{1}^{2}(2x - x^2)dx$, и вычислить эту площадь.

Решение 2.

Решение 3.

Изображение фигуры

Заданный интеграл $ \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx $ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции. Эта фигура ограничена следующими линиями:

• сверху — графиком функции $ y = 2x - x^2 $;
• снизу — осью абсцисс $ y = 0 $;
• слева — вертикальной прямой $ x = 1 $;
• справа — вертикальной прямой $ x = 2 $.

Для того чтобы изобразить эту фигуру, необходимо построить график функции $ y = 2x - x^2 $. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Определим ключевые характеристики параболы:

1. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы: Координата x вершины находится по формуле $ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 $. Соответствующая координата y: $ y_в = 2(1) - (1)^2 = 1 $. Вершина находится в точке $(1, 1)$.
3. Точки пересечения с осью Ox: Найдем корни уравнения $ 2x - x^2 = 0 $, или $ x(2-x) = 0 $. Корнями являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 2 $. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

На отрезке интегрирования $[1, 2]$ функция $ y = 2x - x^2 $ принимает неотрицательные значения. Таким образом, искомая фигура — это область, ограниченная сверху дугой параболы от её вершины $(1, 1)$ до точки пересечения с осью абсцисс $(2, 0)$, снизу — отрезком оси Ox от $x=1$ до $x=2$, и слева — вертикальной прямой $x=1$.

Ответ: Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной параболой $ y = 2x - x^2 $, осью Ox и прямыми $ x=1 $ и $ x=2 $.

Вычисление площади

Площадь $S$ данной фигуры вычисляется как значение определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница:

$ S = \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx $

Сначала найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $ f(x) = 2x - x^2 $:

$ F(x) = \int (2x - x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} $

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования в первообразную:

$ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = F(2) - F(1) $

$ S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) $

$ S = \left( \frac{12 - 8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.