Номер 5, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 5, страница 166.

Условие.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 1$ и касательными к ней, проведёнными из точки (0; -3).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти уравнения касательных к параболе, проведенных из указанной точки, определить точки касания и затем вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и этими касательными, с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнений касательных

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = x^2 + 1$. Ее производная $f'(x) = 2x$.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка касания. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: $y_0 = x_0^2 + 1$. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен $k = f'(x_0) = 2x_0$.

Подставим известные данные в общее уравнение касательной:

$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = x_0^2 + 1 + 2x_0x - 2x_0^2$

$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$

По условию задачи, касательные проходят через точку с координатами $(0; -3)$. Подставим эти значения ($x=0, y=-3$) в полученное уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$-3 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1$

$-3 = -x_0^2 + 1$

$x_0^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для абсцисс точек касания: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

Теперь найдем уравнения для каждой касательной:

• Для $x_0 = 2$:
  $y = 2(2)x - (2)^2 + 1 = 4x - 4 + 1 = 4x - 3$.
  Точка касания имеет координаты $(2, 2^2 + 1) = (2, 5)$.
• Для $x_0 = -2$:
  $y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$.
  Точка касания имеет координаты $(-2, (-2)^2 + 1) = (-2, 5)$.

2. Вычисление площади фигуры

Искомая фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 1$ и снизу двумя касательными: $y = -4x - 3$ (на отрезке $[-2, 0]$) и $y = 4x - 3$ (на отрезке $[0, 2]$). Точки касания $(-2, 5)$ и $(2, 5)$ определяют пределы интегрирования по оси $x$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу.

Заметим, что парабола $y = x^2 + 1$ симметрична относительно оси $Oy$, и точки касания также симметричны. Это означает, что искомая фигура симметрична. Поэтому мы можем вычислить площадь половины фигуры (например, для $x$ от 0 до 2) и умножить результат на 2.

На отрезке $[0, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 1$ и снизу касательной $y = 4x - 3$.

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( (x^2 + 1) - (4x - 3) \right) \,dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = 2 \int_{0}^{2} (x^2 + 1 - 4x + 3) \,dx = 2 \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Можно заметить, что подынтегральное выражение является полным квадратом:

$S = 2 \int_{0}^{2} (x - 2)^2 \,dx$

Теперь вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{(x - 2)^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{(2 - 2)^3}{3} - \frac{(0 - 2)^3}{3} \right)$

$S = 2 \left( \frac{0^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 2 \left( 0 - \frac{-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}$

Площадь фигуры равна $\frac{16}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{16}{3}$