Номер 1, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 1, страница 166.

Условие.

1. Для функции $f(x) = e^x - 3\sin x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $A(0; 2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит в нахождении первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = e^x - 3\sin x$, график которой проходит через заданную точку $A(0; 2)$.

1. Нахождение общего вида первообразной.

Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (e^x - 3\sin x) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на сумму интегралов:

$F(x) = \int e^x dx - \int 3\sin x dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

$\int e^x dx = e^x$

$\int 3\sin x dx = 3 \int \sin x dx = 3(-\cos x) = -3\cos x$

Собрав все вместе, получаем общий вид первообразной, не забывая про константу интегрирования $C$:

$F(x) = e^x - (-3\cos x) + C = e^x + 3\cos x + C$

2. Нахождение константы $C$.

По условию, график первообразной проходит через точку $A(0; 2)$. Это означает, что при $x=0$ значение функции $F(x)$ равно $2$, то есть $F(0) = 2$.

Подставим эти значения в найденное уравнение для $F(x)$:

$F(0) = e^0 + 3\cos(0) + C = 2$

Зная, что $e^0 = 1$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$1 + 3 \cdot 1 + C = 2$

$4 + C = 2$

$C = 2 - 4 = -2$

3. Запись итоговой первообразной.

Теперь подставим найденное значение $C = -2$ в общее выражение для первообразной:

$F(x) = e^x + 3\cos x - 2$

Ответ: $F(x) = e^x + 3\cos x - 2$